Более того, найти вероятность каждого из этих исходов не представляется возможным. ОДНАКО,

Итак,

Задание B10 (№ 321781) При изготовлении подшипников диаметром 64 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,963. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 63,99 мм, или больше, чем 64,01 мм.

Решение. Опыт состоит в выборке одного подшипника. Построим множество исходов рассматриваемого опыта. Из условия задачи ясно, что подшипники условно разделяют на две группы – подшипники, диаметр которых отличается от заданного не больше чем на 0,01 мм, и подшипники, диаметр которых отличается от заданного более чем на 0,01 мм. Поэтому в рассматриваемом опыте полную группу исходов образуют исходы:

U₁={диаметр подшипника отличается от заданного не больше чем на 0,01}, причем, согласно условию задачи, вероятность этого исхода равна 0,963, то есть P(U₁)=0,963

U₂={диаметр подшипника отличается от заданного более чем на 0,01}.

Поскольку эти два исхода образуют полную группу исходов U={U₁, U₂} рассматриваемого опыта, то P(U₂)=1- P(U₁)=1-0,963=0,037.

Фраза: «случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 63,99 мм, или больше, чем 64,01 мм» означает, что диаметр подшипника отличается от заданного более чем на 0,01 мм. Поэтому, вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 63,99 мм, или больше, чем 64,01 мм, равна вероятности исхода U₂ и равна 0,037.

Ответ. 0,037.

Отметим, что рассмотренный пример может стать яркой иллюстрацией того, что с изучаемым опытом обычно связа­но несколько вероятностных пространств. Действительно, например, исходами рассмотренного в задаче № 321781 опыта, могут быть: V₁={диаметр подшипника не больше 62 мм}, V₂={диаметр подшипника больше 62 мм и меньше 63,99 мм}, V₃={диаметр подшипника не меньше 63,99 мм и не больше 64,01 мм}, V₄={диаметр подшипника больше 64,01 мм и меньше 70 мм} и V₅={диаметр подшипника не меньше 70 мм}. Эти исходы взаимно исключают друг друга, и в результате опыта один из них обязательно произойдет. Поэтому они образуют множество V={V₁, V₂, V₃, V₄, V₅} возможных исходов опыта. Вопрос лишь в том, насколько удобно такое представление при заданных условиях.

1. Задание B10 (№ 322193) Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,53. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 15.

Решение. Для начала попытаемся понять - где и кому в повседневной жизни приходится сталкиваться с необходимостью подсчета пассажиров в транспорте. Например, для определения рентабельности пассажирских перевозок в междугородных автобусных маршрутах, в зависимости от наполняемости автобуса в конкретный день недели. Для того чтобы проследить эту наполняемость, мы с вами, став на минуточку контролёрами, входим в автобус на начальной остановке и видим… Что мы можем увидеть? Действительно, мы видим людей, находящихся в автобусе. Но, что нас интересует с точки зрения рентабельности? Конечно же - количество пассажиров, и это число может быть равным, например, 3 - в автобусе 3 пассажира. Ещё! 17 - в автобусе 17 пассажиров и так далее. Вот это, зафиксированное нами число, оказавшихся в автобусе пассажиров, и является возможным исходом нашего опыта. Ну а теперь, давайте перейдем к построению (мы строим) системы возможных исходов рассматриваемого опыта.

U₀={в понедельник автобус пустой},

U₁={в понедельник в автобусе 1 пассажир},

U₂={в понедельник в автобусе 2 пассажира},

U₃={в понедельник в автобусе 3 пассажира},

U₄={в понедельник в автобусе 4 пассажира},

………………………………………………………

………………………………………………………

U₁₃={в понедельник в автобусе 13 пассажиров},

U₁₄={в понедельник в автобусе 14 пассажиров},

U₁₅={в понедельник в автобусе 15 пассажиров},

U₁₆={в понедельник в автобусе не менее 16 пассажиров}.

Таким образом, при заданных условиях, множество исходов рассматриваемого опыта состоит из семнадцати элементов U= {U₀, U₁, U₂, U₃ ,… U₁₅, U₁₆}. Эти исходы взаимно исключают друг друга, и в результате опыта один из них обязательно произойдет.Исходы не являются равновероятными.

Вероятность P₁ того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 14 пассажиров, равна сумме вероятностей исходов U₀, U₁, U₂,…,U₁₂, U₁₃ и равна, согласно условию задачи, 0,53, то есть

P₁ =P(U₀)+P(U₁)+P(U₂)+…+P(U₁₂)+P(U₁₃)=0,53

Вероятность P₂ того, что в понедельник в автобусе будет от 14 до 15 пассажиров, равна сумме вероятностей исходов U₁₄ , U₁₅, то есть

P₂ =P(U₁₄ )+P(U₁₅).

Вероятность P₃ того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 16 пассажиров, равна сумме вероятностей исходов U₀, U₁, U₂,…,U₁₃, U₁₄ U₁₅ и равна, согласно условию задачи, 0,88, то есть

. Из равенства P₁+P₂=P₃ следует, что искомая вероятность P₂=P₃-P₁ =0.88-0,53=0,35.

ОТВЕТ: 0,35

Таким образом, задача решена, но возникает вопрос: «Имеет ли практическую ценность, полученный результат с позиции востребованности автобусного маршрута, то есть можно ли интерпретировать этот результат в рамках обозначенной проблемы?» При заданных условиях, вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 15 равна 0,35. Этот результат означает, что если опыт повторятьбольшоечисло N раз, то примерно в 0,35 N случаях в автобусе по понедельникам окажется от 14 до 15 человек. С большой или не очень большой натяжкой, можно утверждать, что примерно в 35 поездках из 100 поездок (один понедельник – одна поездка), в автобусе будет от 14 до 15 пассажиров. Решайте сами: рентабельно или нет! Проведённого исследования недостаточно для того, чтобы судить о рентабельности маршрута, поскольку наполняемость автобуса – лишь один из критериев рентабельности. Кроме того, в автобусе может оказаться более 15 пассажиров. Возможно, такая наполняемость случается гораздо чаще?!! Кто-то может ответить на этот вопрос?

Теперь, разобравшись с решением этой задачей, давайте попытаемся в рамках той же структуры смоделировать иную проблемную ситуацию. Ну, например, выпуклый двадцатигранник причудливой формы из неоднородного материала со смещенным центром тяжести, на гранях которого записаны целые числа от 0 до19, подбрасывают один раз. Вероятность того, что на нижней грани (грань, оказавшаяся в плоскости стола) многогранника окажется меньше 16 очков, равна 0,88. Вероятность того, что на нижней грани окажется меньше 14 очков, равна 0,53. Найдите вероятность того, что на нижней грани многогранника окажется от 14 до 15 очков.

Поскольку задача решается аналогично предыдущей задаче (решите самостоятельно), предлагаю ограничиться лишь ответами на следующие вопросы: «Чем объясняется наличие в условиях задачи двадцатигранника, и нельзя ли было ограничиться шестнадцатигранником? Какое возможно наименьшее число граней у многогранника?». «Почему в условиях задачи речь идёт о выпуклом многограннике именно причудливой формы со смещённым центром тяжести?».

ДО БЕЗОБРАЗИЯ ЗНАКОМАЯ ЗАДАЧА.

Игральный кубик подбрасывают один раз. Найдите вероятность выпадения на верхней грани кубика от 4 до 5 очков.

РЕШЕНИЕ.

Опыт состоит в подбрасывании кубика. Построим множество всевозможных исходов рассматриваемого опыта.

U₁={на верхней грани кубика выпало 1 очко}, причем P(U₁)=

U₂={ на верхней грани кубика выпало 2 очка}, причем P(U₂)=

U₃={ на верхней грани кубика выпало 3 очка}, причем P(U₃)=

U₄={ на верхней грани кубика выпало 4 очка}, причем P(U₄)=

U₅={ на верхней грани кубика выпало 5 очков}, причем P(U₅)=

U₆={ на верхней грани кубика выпало 6 очков}, причем P(U₆)=

В этой задаче, в отличие от предыдущей, возможно найти вероятность каждого исхода. ПОЭТОМУ,

Вероятность P₂ того, что, на верхней грани кубика выпадет от 4 до 5 очков, равна сумме вероятностей исходов U₄, U₅, то есть P₂ =P(U₄)+P(U₅)=.

ОТВЕТ: .

Можно решить эту задачу иначе, чтобы ещё раз осмыслить решение задачи № 322193!!!!!!!!

Вероятность P₁ того, что на верхней грани кубика выпадет меньше 4 очков, равна сумме вероятностей исходов U₁, U₂, U₃, то есть P₁ =P(U₁)+P(U₂)+P(U₃)==.

Вероятность P₂ того, что на верхней грани кубика выпадет от 4 до 5 очков, равна сумме вероятностей исходов U₄, U₅, то есть P₂ =P(U₄)+P(U₅).

Вероятность P₃ того, что на верхней грани кубика выпадет меньше 6 очков, равна сумме вероятностей исходов U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, то есть P₃ =P(U₁)+P(U₂)+P(U₃)+P(U₄)+P(U₅)= P₁+P₂= =. Из равенства P₃=P₁+P₂ следует, что искомая вероятность равна

P₂ =P₃-P₁=.

ОТВЕТ: .

Дата добавления: 2014-01-06