Свойства математического ожидания случайной величины

1) Если , то .

2) .

3) Если , то .

4) Размерность такая же, как и .

5) , если – постоянная.

6) , где .

Действительно, для дискретной случайной величины

.

Аналогично доказывается это свойство для непрерывной СВ.

7) для любых СВ , .

8) , если случайные величины , независимы, т. е. .

Модой случайной величины (или ) называется наиболее вероятное ее значение. Для дискретной случайной величины мода – значение СВ, которому соответствует наибольшая вероятность. Для непрерывной СВ мода – это то значение СВ, для которого плотность распределения имеет максимум. Если плотность распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным. Если плотность распределения имеет несколько максимумов, то е называется полимодальным. Встречаются также антимодальные распределения (например, равномерное распределение.)

Мода – часто встречающееся типичное значение, т.е. то, которое действительно является модным.

Медианой случайной величины или называется то значение случайной величины, для которого

(4)

Для этого значения одинаково вероятным, что СВ примет значения, большие, чем , или меньшие, чем .

Число для любого удовлетворяет двум неравенствам

и (5)

Чтобы найти медиану для дискретной СВ, нужно составить таблицу накопленных вероятностей и найти то значение, для которого накопленная вероятность равна 0.5 или использовать определение (5).

Чтобы найти медиану для непрерывной СВ, нужно решить уравнение

Ордината, проведенная в точке с абсциссой делит площадь фигуры между графиком плотности вероятности и осью пополам.

Медиана представляет собой средневероятное значение. На медиану не так сильно влияют значения, расположенные на большом расстоянии от центра распределения, как на математическое ожидание. Например, медиана дает лучшее представление о распределении личных доходов семей, так как на нее не так сильно влияют семьи с очень большим доходом и с очень малым доходом.

Обобщением понятия медианы является где , квантиль уровня . Квантиль уровня определяется как решение уравнения

, где – функция распределения случайной величины. Квантили и определяются как такие значения СВ, для которых и. . Очевидно, что . При и квантили называют терцилями. Часто используют также децили , ,…,и процентили , ,…,.

Дата добавления: 2014-01-06