Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то и числовые характеристики одинаковы.

Рассмотрим взаимно независимых случайных величин

, которые имеют одинаковые распределения, следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

=

Свойства среднего арифметического:

Св-во 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания, получим

Принимая во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно , получим

Св-во 2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:

Доказательство. Пользуясь свойствами дисперсии, имеем

Принимая во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна , получим

(*)

Св-во 3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

Доказательство. Так как то среднее квадратическое отклонение равно

(**)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение служат мерами рассеяния случайной величины. Заключаем, что из свойств 2) и 3) следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Дата добавления: 2014-01-06