Тема 8. Критерии и свойства оптимальных стратегий

Теорема 8.1. Пусть V- цена игры, - функция выигрыша, За и - множества смешанных стратегий соответственно игроков А и В.

1. Для того чтобы стратегия игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

для любого

т.е. выбор игроком А оптимальной стратегии гарантирует ему выигрыш , не меньший цены игры V, при любой стратегии игрока В.

2. Для того чтобы стратегия игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

для любого ,

т. е. выбор игроком В одной из своих оптимальных стратегий гарантирует ему проигрыш, не больший цены игры У, при любой стратегии Р игрока А.

Теорема 8.2. Пусть V - цена игры, - функция выигрыша, и - множества чистых стратегий соответственно игроков А и В.

1. Для того чтобы стратегия игрока А была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы

2. Для того чтобы стратегия игрока В была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы

Пример. Рассмотрим матричную игрус платежной матрицей

А =

и смешанные стратегии и соответственно игроков А и В. В упражнении 9.2 было отмечено, что из примера 8.3 по теореме фон Неймана следует оптимальность стратегии и . Установим этот факт на основании теоремы 8.2.

Имеем, что цена игры .

Получаем следующие значения функции выигрыша:

Таким образом, и потому по достаточной части утверждения 1 теоремы 8.2 (см. (10.10)) стратегия является оптимальной стратегией игрока А.

Также имеют место неравенства, (которые на самом деле являются равенствами) и, следовательно, по достаточной части утверждения 2 теоремы 8.2 стратегия является оптимальной стратегией игрока В.

Пусть оптимальная смешанная стратегия игрока А. В общем случае, некоторые из вероятностей могут быть равными нулю. Если , где i - одно из чисел , то в оптимальной смешанной стратегии чистая стратегия не участвует и потому называется пассивной. Чистые стратегии , входящие в оптимальную стратегию Р° с положительной вероятностью , называются активными стратегиями игрока А. Таким же образом определяются активные стратегии игрока В. Понятно, что оптимальная чистая стратегия является активной. Следующая теорема об активных стратегиях играет существенную роль в решении игр.

Теорема 8.3(об активных стратегиях). Пусть V- цена игры, и - оптимальные стратегии соответственно игроков А и В. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Для любой активной стратегии игрока А выполняется равенство

.

2. Для любой активной стратегии игрока В выполняется равенство

.

Дата добавления: 2014-01-06