Математическое отступление

Лекция 15.

Статистическое описание равновесных состояний. Функция распределения. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла. Экспериментальная проверка распределения Максвелла. Фазовое пространство. Распределение Максвелла-Больцмана. Равновесные флуктуации. Статистическое обоснование второго начала термодинамики. Формула Больцмана для статистической энтропии.

Пусть при каком-то эксперименте было проведено N испытаний, в результате чего был получен ряд значений искомой величины x: { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄,, x _N}. Причем некоторые из этих значений могут быть одинаковыми. Составим таблицу (или как говорят, распределение значений).

Значение x	x 1	x 2	…	x k
Количество одинаковых значений	N 1	N 2	…	N k

При этом .

Определим частоту появления величины x _i как отношение: .

Среднее значение величины x: .

В случае повторных экспериментов в тех же условиях можно ожидать, что новое значение средней величины будет несильно отличаться от прежнего значения. В предельном случае бесконечного числа испытаний величина

называется вероятностью появления значения x_i.

Предположим, что вероятность p_i уже известна для данного эксперимента. Тогда можно рассчитывать, что при проведении N испытаний величина x _i выпадет N _i= p _i N раз.

В некоторых случаях математический анализ условий проведения эксперимента даёт оценку для вероятности появления величины x в виде определённого интеграла:

- это вероятность того, что числовое значение величины x (которая называется случайной величиной) находится в пределах x ₁< x < x ₂. В этом случае, если интервал D x = x ₂- x ₁ имеет малую величину, то , где x ₁< x ₀< x ₂.

Среднее значение величины x в этом случае ищется в виде: .

Функция f (x) называется плотностью распределения. Для неё выполняется условие нормировки:

.

Смысл этого условия можно определить из равенства - вероятность того, что величина x примет какое-то значение, равна 1.

Примером плотности распределения является нормальное распределение (распределение Гаусса):

.

Если задана какая-то функция от случайной величины j(x), то среднее значение этой функции

.

Если при измерениях получаются две случайные величины x и y, то вероятность задается с помощью уже двумерной функции распределения:

.

Если случайные величины x и y независимы друг от друга, то .

Замечание. В случае, когда случайная величина задается функцией распределения, вероятность того, что эта величина примет конкретное значение равна нулю .

Дата добавления: 2014-01-06