Распределение Больцмана

Пусть идеальный газ находится во внешнем поле силы тяжести при постоянной температуре. Рассмотрим равновесие малого объёма газа:

,

,

где плотность газа ,

, , .

Задавая давление p = p ₀ при z =0, получаем .

Делим числитель и знаменатель дроби в показателе степени на число Авогадро: - масса молекулы, - постоянная Больцмана, получаем:

.

Это соотношение носит название барометрическая формула для изотермического столба газа в однородном поле силы тяжести.

Замечание. Хотя температура реальной атмосферы и уменьшается с высотой, но эта формула достаточно хорошо согласуется с экспериментом.

С учётом основного уравнения МКТ: p = nkT получаем , где n ₀ – концентрация молекул при z =0. Если учесть, что W _П = m ₀gz – потенциальная энергия молекул в поле сил тяжести, то получаем распределение Больцмана по энергиям:

.

Замечание. Из этой формулы следует, что при T®0 молекулы собираются вблизи поверхности нулевого значения энергии Wп=0.

Найдем среднее значение потенциальной энергии молекул (по высоте): .

Т.к. распределение молекул по энергиям - непрерывная функция, то

.

Откуда .

Дата добавления: 2014-01-06