Арифметические операции над случайными величинами

Ответ.

Ответ.

	0,1	0,6	0,3

Пример. В коробке – 3 белых шара и 2 красных. Шары извлекаются последовательно до появления белого шара. Составить закон распределения случайной величины Х – числа извлеченных шаров.

Решение. Возможные значения данной случайной величины: 1, 2, 3. Событие (из коробки будет извлечен один единственный шар) наступает тогда и только тогда, когда первый из шаров оказывается белым, т.к. появление именно белого шара является сигналом к прекращению последующих извлечений (см. условие). Поэтому

где событие – первый из извлеченных шаров – белый. Событие (из коробки будет извлечено ровно 2 шара) наступает тогда и только тогда, когда первый из извлеченных шаров оказывается красным, а второй – белым. Поэтому

где событие – первый из извлеченных шаров – красный, – второй шар – белый. Наконец событие (из коробки будет извлечено 3 шара) наступает тогда и только тогда, когда первый шар – красный, второй – красный и третий – белый. Поэтому

Окончательно искомый закон распределения имеет вид:

Х:
	0,6	0,3	0,1

Упражнение. Имея 3 патрона, стрелок стреляет по мишени до первого попадания (или до израсходования патронов). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа произведенных выстрелов.

Х:
	0,8	0,16	0,04

Пример. Стрелок стреляет в мишень 3 раза. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий в мишень.

Решение. Возможные значения для числа попаданий: 0, 1, 2, 3. Вероятности того, что случайная величина Х примет эти значения вычисляются по формуле Бернулли при

Окончательно искомый закон распределения имеет вид:

Х:
	0,008	0,096	0,384	0,512

Полученный закон распределения является частным случаем так называемого биномиального закона распределения (при ).

Определение. Случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если ее закон распределения имеет вид:

Х:					…		,
				…

где вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

– положительное целое число,

В пределе при и биномиальное распределение переходит в так называемое распределение Пуассона.

Определение. Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром , если ее закон распределения имеет вид:

Х:					…	,
				…

где

,

– положительное число.

Убедимся в том, что для распределения Пуассона выполняется основное свойство закона распределения: . Действительно, имеем

(см. курс математического анализа, разложение функции в ряд Маклорена).

Домашнее задание. 3.25, 3.31, 3.36, 3.40, 3.45.

Определение. Случайные величины Х и Y называются равными, если их законы распределения точно совпадают, и для произвольного числа справедливо равенство:

Пример. Пусть законы распределения случайных величин Х и Y имеют вид:

Y:				.
	0,5	0,5

X:
	0,5	0,5

Эти случайные величины равны, если дополнительно справедливы равенства и , т.е. случайная величина Х принимает значение 0

тогда и только тогда, когда случайная величина Y принимает значение 0, и аналогично со значением 1.

Произвольная случайная величина допускает умножение на число. Действительно, пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:

:				…
			…

и – некоторое число.

Определение. Случайной величиной называется такая случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

:				…
			…

Пример. Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:

Х:
	0,16	0,48	0,36

и , . Тогда закон распределения :

	0,16	0,48	0,36

Можно придумать, например, следующую интерпретацию данному примеру. Заметим, что Х – биномиально распределена с параметрами . Пусть Х – число попаданий в мишень при 2-х выстрелах, при каждом из которых попадание случается с вероятностью 0,6, и дополнительно известно, что за каждое попадание стрелку выплачивается вознаграждение в размере 5 ден. ед. Тогда Y – заработок стрелка.

Определение. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых i и j события и – независимы.

Пример. Пусть из коробки, в которой – 6 белых и 8 красных шаров, извлекается 1 шар. Рассмотрим случайные величины Х – число белых шаров, Y – число красных шаров из извлеченных. События, например, и – несовместны, а поэтому – зависимы (см. § 1.6). Следовательно, и случайные величины Х и Y зависимы.

Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина (, ), которая принимает значение в некотором испытании, если значения и случайных величин Х и в этом испытании таковы, что ().

Пример. Пусть заданы законы распределения независимых случайных величин Х и Y:

Х:				Y:
	0,4	0,6		0,2	0,8

Составить закон распределения случайной величины .

Решение. Удобно использовать вспомогательную таблицу вида:

	–1

в каждой из центральных клеток которой записаны соответствующие произведения случайных величин X и Y. Такая таблица показывает, какие значения принимает случайная величина U и когда она принимает эти значения. Так тогда и только тогда, когда и или и . Поэтому

.

Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, теорему умножения вероятностей – для независимых событий (по условию, случайные величины и – независимы), получаем

Для наступления каждого из двух оставшихся значений случайной величины U (-1 и 1) имеется по одной возможности. Например, тогда и только тогда, когда и . Тогда получаем:

Аналогично,

Окончательно, закон распределения случайной величины U имеет вид:

U:		–1
	0,32	0,56	0,12

Упражнение. Составить законы распределения случайных величин

Дата добавления: 2014-01-06