Закон сохранения главного момента количества движения

Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов).

Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки, будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой m_к, имеющую скорость , то для нее будет

, где

- равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя, такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим:

.

Но последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Тогда, учитывая равенство (10) найдем окончательно:

(18)

Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы:

производная по времени от главного момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируем обе части равенства (17) на координатные оси получим:

(19)

Доказанной теоремой широко пользуются при изучении вращательного движения тела, а также в теории и в теории удара. Практическая ценность состоит в том, что при изучении вращательного движения она позволяет исключить из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.

1). Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (18) следует, что при этом К₀=const. Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный момент количества движения относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.

2). Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю:

Тогда из уравнений (19) следует К_z=const.

Эти результаты выражают собой закон сохранения главного момента количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.

Дата добавления: 2014-01-06