Лекция 9. Основы релятивистской механики. Релятивистская кинематика

Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике. Представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца для координат и времени. Следствия из преобразований Лоренца: сокращение движущихся масштабов длин, замедление движущихся часов, закон сложения скоростей.

9.1. Принцип относительности Галилея.
Преобразования Галилея. Инварианты преобразования.
Закон сложения скоростей в классической механике

Теория относительности, физическая теория, рассматривающая пространственно-временные закономерности, справедливые для любых физических процессов. Универсальность пространственно-временных свойств, рассматриваемых теорией относительности, позволяет говорить о них просто как о свойствах пространства-времени.

Наиболее общая теория пространства-времени называется общей теорией относительности (ОТО) или теорией тяготения, так как согласно этой теории свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. В специальной (частной) теории относительности (СТО), основы которой были опубликованы А. Эйнштейном в 1905 г., изучаются свойства пространства-времени, справедливые с той точностью, с какой можно пренебрегать действием тяготения.

Таким образом, логически СТО - частный случай ОТО; исторически построение ОТО А. Эйнштейном было завершено в 1915 году, после чего и появился термин "частная (специальная) теория относительности". Надо отметить, что еще до появления СТО голландский и французский физики Лоренц и Пуанкаре были близки к получению результатов, вытекающих из положений СТО.

А. Эйнштейн представил с единой точки зрения все известные до него эксперименты по определению скорости света и зависимости скорости распространения света от того, движутся или нет источники и приемники света, изложил физическое понимание проблем, с которыми столкнулись электродинамика и оптика.

Рассматривая движение материальных точек (тел) в классической механике, предполагается, что они движутся со скоростями v<<c (v - скорость движущегося объекта; c - скорость распространения света в вакууме).

Говоря о механическом движении, т.е. о перемещении тела в пространстве, всегда имеется в виду его движение относительно других тел (или одних частей тела относительно других его частей). Для математического описания движения тел с этим телом и другими телами жестко связывается система отсчета и часы для определения времени. Положение материальной точки (тела) в выбранной системе отсчета определяется либо с помощью координат (X,У,Z), либо с помощью радиус-вектора r и часов. При движении материальной точки (тела) в инерциальной системе отсчета предполагается: 1) выбранная система отсчета неподвижна или движется равномерно и прямолинейно относительно любой другой инерциальной системы отсчета; 2) условия движения тела в различных системах отсчета одинаковы; 3) основное уравнение динамики F = d p /dt = m a (второй закон Ньютона) справедливо, если наблюдатель неподвижен относительно выбранной системы отсчета. В этом случае: 1) тело, брошенное вдоль вагона, достигает противоположной стенки за одно и то же время, независимо от того движется ли оно по направлению движения поезда или в противоположном направлении, причем это время такое же, как и в покоящемся вагоне; 2) тело, брошенное вертикально вверх в вагоне, движущимся равномерно и прямолинейно (движущейся системе отсчета), вернется в ту же точку вагона, из которой оно было брошено, а не отклонится в сторону, противоположную направлению движения вагона; 3) упругий удар биллиардных шаров в обеих инерциальных системах (покоящейся и движущейся) отсчета заканчивается разлетом на одинаковые углы и с одинаковыми скоростями, если только в двух системах отсчета были одинаковые начальные скорости и направления движения.

Все это показывает, что в классической механике справедлив следующий закон природы: "В двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, все механические явления протекают одинаково (при одинаковых условиях)".

Это положение, сформулированное еще Галилеем, получило название классического принципа относительности, или принципа относительности Галилея.

Если начальные условия в различных системах отсчета не одинаковы, то величины, характеризующие движение (координаты, скорости, траектория движения), относительны. Например, траектория движения тела, свободно падающего вертикально вниз в неподвижной системе отсчета, представляет собой прямую линию. Однако по отношению к движущейся системе отсчета это же тело движется по параболе.

Наблюдая движение тел внутри инерциальных систем отсчета, нельзя установить, какая из них движется, а какая покоится.

Это позволяет придать принципу относительности Галилея другую (отрицательную) формулировку: "Никакие опыты, проводимые в инерциальных системах отсчета с механическими приборами (представляющими собой совокупность пружин, нитей, блоков, рычагов и т. д.), не позволяют установить, покоится система отсчета или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе отсчета.

; a = a^'. (9.6) Таким образом, ускорение выбранной точки в инерциальных системах отсчета К и К^', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково. Следовательно, если на рассматриваемую точку не действуют внешние силы, то согласно (9.6) система К^' является инерциальной (выбранная точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно). Умножив (9.6) на массу материальной точки, будем иметь ma = ma^', (9.7) или ma = F; ma^' = F^'. (9.8) Уравнения (9.8) выражают основной закон классической динамики. Равенство F = F^' означает, что законы классической динамики инвариантны при переходе от одной инерциальной системы к другой, что в свою очередь подтверждает справедливость принципа относительности Галилея. В классической механике предполагается, что время во всех инерциальных системах отсчета одно и то же (это можно доказать), а координаты выбранной материальной точки (тела) относительны. Относительные расстояния между двумя точками пространства определяются из геометрических соображений. При этом относительное расстояние между выбранными точками пространства в подвижной системе отсчета определяется соотношением , (9.9) а в неподвижной системе отсчета . (9.10) Сравнив (9.9) и (9.10), можно сделать вывод, что относительные расстояния в классической механике одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, они абсолютны, т.е. инвариантны. Таким образом, принцип относительности по своему содержанию глубоко диалектичен. Он утверждает относительность ряда величин и понятий (координаты, скорости, траектории), содержит утверждение об абсолютности (инвариантности) расстояния между телами (точками), промежутков времени между событиями, относительных скоростей тел, ускорений, об инвариантности (абсолютности) законов природы. С этой точки зрения, само название "принцип относительности" не является наиболее удачным, так как оно подчеркивает только одну, причем не самую важную сторону - относительность, и игнорирует другую - абсолютность (инвариантность) законов механики. Следовательно, можно привести математическую формулировку принципа относительности Галилея: уравнения второго закона Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Инвариантные величины (расстояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения) называют инвариантами преобразований. 9.2. Постулаты и представления о свойствах пространства и времени в специальной теории относительности Из механического принципа относительности Галилея следует, что скорость движения механических объектов (тел, материальных точек) относительна и зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета происходит движение. Следовательно, скорость распространения света зависит от того, движется ли приемник или источник света или нет. Максвелл в 1878 г. предложил мысленный эксперимент по определению зависимости скорости распространения света от того, движется ли источник света или покоится. Представим вагон длиной 2l, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью v. В середине вагона включается лампочка S и световые лучи освещают стенки вагона. С точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне, лучи света достигнут передней и задней его стенки одновременно. С точки зрения наблюдателя, находящегося вне вагона, свет достигнет передней стенки вагона позже, чем задней, так как передняя стенка "убегает" от световых лучей, а задняя "догоняет" их. Это связано с тем, что если скорость света вне вагона "c" то скорость света по отношению передней стенке (c - v), а по отношению к задней стенке - (c + v). Поэтому свет должен прийти к рассматриваемым стенкам вагона в разные моменты времени. Запаздывание одного луча по сравнению с другим будет составлять . (9.11) Учитывая, что v<<c, получим , (9.12) откуда . (9.13) Таким образом, зная длину вагона, скорость света, измерив, разность времен Dt, можно не только установить факт движения инерциальной системы отсчета, связанной с вагоном по отношению к неподвижной системе отсчета, но и найти скорость этого движения. Эту скорость естественно было бы назвать абсолютной в отличие от множества относительных скоростей по отношению к произвольно движущимся инерциальным (галилеевым) системам отсчета. Непосредственное осуществление такого эксперимента затруднительно из-за ничтожно малой разности времен Dt. Однако такие малые разности во времени распространения света можно определить с помощью интерференционных приборов. Это связано с тем, что даже малые разности промежутков времени приводят к значительным изменениям оптической разности хода двух световых лучей: c×Dt. Определив разность хода двух лучей, рассчитав разность времен Dt, можно определить скорость v, а следовательно, и обнаружить движение одной инерциальной системы отсчета относительно другой. Многочисленные опыты (эксперименты), поставленные в разное время Майкельсоном и Морли, Томашеком, убедительно показали, что скорость света не зависит от движения источника света. Таким образом, обнаружить движение инерциальных систем отсчета относительно друг друга оказалось невозможным. В отличие от всех исследователей А. Эйнштейн усмотрел в отрицательном результате опытов Майкельсона не случайную трудность, которая нуждается в том или ином (столь же случайном) объяснении, а проявление некоторого общего закона природы: "Невозможно обнаружить прямолинейное и равномерное движение инерциальных систем отсчета по отношению к другим (к абсолютному пространству) не только механическими, но и оптическими методами". Обобщая этот результат, он выдвигает гипотезу, которая является расширением принципа относительности Галилея и носит название принципа относительности Эйнштейна (или первого постулата теории относительности): «Никакие физические опыты (механические, оптические, тепловые, электромагнитные и т.д.), производимые внутри инерциальной системы отсчета, не позволяют установить, находится ли она в равномерном абсолютном и прямолинейном движении или нет». Так же, как и принцип Галилея, принцип относительности Эйнштейна допускает и утвердительную формулировку: «Все физические явления протекают одинаково (при одинаковых условиях) в двух инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно». В силу этого любая идея создания физического прибора (механического, оптического и т.п.), обнаруживающего абсолютное движение инерциальных систем отсчета, должна быть отвергнута, как и идея создания любого вечного двигателя. Принцип относительности делает совершенно надуманной и беспредметной гипотезу абсолютного пространства. Если во всех инерциальных системах, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, все физические явления протекают одинаково. Следовательно, любую из них с одинаковым правом можно считать покоящейся абсолютно. Одновременно оказываются несостоятельными понятия абсолютного покоя и абсолютного движения. Всякое движение относительно и имеет смысл говорить лишь о движении одних тел по отношению к другим телам. Теория относительности, в основе которой лежит только принцип относительности, не может представлять физическую теорию, предсказывающую огромное количество новых фактов и имеющую колоссальное поле деятельности в современной атомной и ядерной физике. Принцип относительности представляет физическую теорию при дополнении его вторым постулатом (принципом Эйнштейна) - принципом независимости и постоянства скорости света: «Скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света». Принцип постоянства и независимости скорости распространения света подтверждается экспериментально (наблюдения за двойными звездами, опыт Томашека). С точки зрения классической физики, первый и второй постулаты теории относительности противоречат друг другу. Для устранения противоречия А. Эйнштейн предложил третий постулат - принцип одновременности событий: «События, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета, то есть одновременность является понятием относительным». Для доказательства этого постулата воспользуемся двумя инерциальными системами отсчета: неподвижной системой (К) и системой (К^'), которая движется относительно (К) равномерно и прямолинейно с некоторой скоростью. Пусть в начальный момент времени координатные оси систем совпадают. Через некоторый промежуток времени у этих систем отсчета совпадают только, например, оси OX и OX^' (движение системы К^' происходит в направлении оси OX системы К). Если в некоторой точке В, находящейся в подвижной системе, произошла вспышка света, то свет одновременно (по часам подвижной системы) достигнет точек А и С, расположенных на одинаковом расстоянии от В. Эта вспышка света будет замечена в неподвижной системе отсчета (системе К). Так как свет распространяется с одинаковой скоростью во всех направлениях и его скорость не зависит от движения источника, то, с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К, свет достигнет точек А и В не одновременно. Следовательно, события, одновременные в одной системе отсчета, действительно не одновременны в другой. Из постулатов А. Эйнштейна следует, что в разных системах отсчета время разное. Поэтому допущение классической физики об абсолютном времени оказывается несостоятельным, как и представления об абсолютном пространстве. Из постулатов теории относительности вытекает тот факт, что пространство и время образуют единую пространственно-временную систему отсчета (пространственно-временной континуум). С точки зрения математики, такая система отсчета представляет собой четырехмерную систему координат. Положение материальной точки, тела в ней может быть задано с помощью четырех координат: x, у, z, и t (x, у, z, - пространственные координаты; t - координата времени, которая вычисляется по формуле: t = i∙c∙t, где ; c - скорость распространения света в вакууме; t - время. Известно, что расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве определяется соотношением . (9.14) В четырехмерном пространстве (в теории относительности) расстояние между двумя точками, которое называют интервалом между двумя событиями, можно определить следующим образом: (9.15) Можно показать, что интервал между двумя событиями в пространственно-временной системе отсчета всегда равен нулю (S_1,2=0). Это позволяет утверждать, что интервал между двумя событиями в теории относительности инвариантен по отношению к переходу из одной системы отсчета в другую. 9.3. Преобразования Лоренца для координат и времени Формулы преобразования координат, при переходе из одной системы отсчета в другую, в теории относительности называют преобразованиями Лоренца. Для получения преобразований Лоренца выберем две инерциальные системы отсчета К и К^'. Предположим, что система К^' движется равномерно и прямолинейно относительно системы К со скоростью v. В начальный момент времени системы К и К^' совпадали. Для любого другого момента времени расположение координатных осей систем сохраняется. При этом любая точка имеет одни и те же координаты у, z и у^', z^'. Координаты x и t связаны функционально: x = f(x^', t^'); t = F(x^', t^'). Таким образом, формулы преобразования координат можно записать в виде x = f(x^', t^'); у = у^'; z = z^'; t = F(x^', t^'). (9.16) <с. (9.26) Это еще раз подтверждает, что скорость распространения света в вакууме - предельная скорость распространения любого сигнала (любой скорости движения материальной точки, тела, частицы). Следует отметить, что инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца является только абсолютная величина скорости света в вакууме, но не ее направление. 9.4.2. Сокращение движущихся масштабов длин Из преобразований Галилея можно сделать вывод, что расстояние между двумя точками или длина стержней не изменяется, не зависимо от того, где происходит измерение расстояния (длины стержня): в движущейся системе отсчета или в неподвижной. Действительно, запишем полную систему уравнений для двух событий: ; . Вычитая почленно из первых трех уравнений второй системы соответствующие уравнения первой системы, получим (9.27) откуда, вводя относительные расстояния между двумя точками (относительные размеры тел) (9.28) и , (9.29) получим l_1,2^' = l_1,2. (9.30) Таким образом, действительно, расстояния между двумя точками (размеры тел) абсолютны или инвариантны во всех инерциальных системах отсчета классической механики. Совершенно так же четвертые уравнения полной системы уравнений показывают, что промежуток времени между двумя событиями одинаков во всех галилеевых системах отсчета: τ_1,2^' = τ_1,2. Определим длину стержня, с точки зрения теории относительности, в системе K. Пусть стержень движется относительно - системы с постоянной скоростью v (рис.9.3). В системе K^’, связанной со стержнем, его длина l₀. Проделаем для этого следующий мысленный эксперимент. Сделаем на оси X K-системы метку M и установим около неё часы. Зафиксируем по этим часам время пролёта стержня мимо метки M. Искомая длина стержня по времени K-системы составляет . (9.31) Для наблюдателя, связанного со стержнем, время движения, определенное по тем же часам будет иным, - . Поэтому длина покоящегося относительно него стержня l₀ будет равна: . Из этих двух выражений длины с учетом формулы замедления времени получаем или . (9.32) Повторим теперь выкладки, но с помощью формул преобразований Лоренца. Пусть в системе К покоится стержень длины l₀, расположенный вдоль оси OX: l₀ = x₂ - x₁. Для того чтобы измерить его длину в системе К^', движущейся по отношению к системе К со скоростью v, необходимо найти разность координат его концов l = x₂¹ - x₁¹ в один и тот же момент времени по часам системы К^'. Запишем преобразования Лоренца для координат концов стержня: ; . Вычтя из второго равенства первое и учитывая, что t₁^' = t₂^', получим или ;. (9.33) Длину , измеренную в системе отсчета, где стержень неподвижен, называют собственной длиной. Таким образом, в противоположность классической физике, в которой длина стержня считалась абсолютной, в теории относительности один и тот же стержень имеет различную длину в различных системах отсчета. Максимальную длину l₀ стержень имеет в той системе отсчета, в которой он покоится, в системах же, движущихся по отношению к стержню, он имеет длину l тем меньшую, чем больше скорость движения. Совершенно очевидно при этом, что сокращаются только размеры стержня, параллельные направлению движения системы отсчета. Поперечные размеры, как это следует из формул преобразований Лоренца у = у^', z = z^', не меняются. Следует особо подчеркнуть, что речь не идет о каком-либо реальном физическом процессе сокращения, происходящем со стрежнем. Это ясно потому, что один и тот же стержень имеет разную длину в разных системах отсчета. Это явление называют лоренцевым сокращением. Лоренцево сокращение является чисто кинематическим эффектом - в теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию. Подчеркнем, что лоренцево сокращение тел в направлении движения представляет собой реальный и объективный факт, не связанный с какими-либо иллюзиями наблюдателя. Все значения размеров данного тела, полученные в разных системах отсчета, являются равноправными. Трудность понимания этих утверждений связана исключительно с нашей привычкой, основанной на повседневном опыте. Мы привыкли считать понятие длины абсолютным понятием, когда в действительности это не так. Понятия длины столь же относительны, как и понятия движения и покоя. 9.4.3.Замедление хода движущихся часов Cравним течение времени в различных инерциальных системах отсчёта. С этой целью воспользуемся часами – прибором, в котором используется тот или иной периодический процесс. Наиболее просто вопрос можно решить с помощью так называемых “световых” часов. Световые часы – это стержень с зеркалами на обоих концах, между которыми бегает короткий световой импульс. Период таких часов равен интервалу времени, в течение которого импульс проходит двойной путь от одного зеркала до другого (рис.9.4). Далее представим себе две инерциальные системы отсчета K и K^’, движущиеся относительно друг друга со скоростью v. Пусть и в той, и в другой системе имеются совершенно идентичные световые часы, жестко связанные с системой отсчета и ориентированные перпендикулярно вектору скорости v. Проследим теперь за ходом этих часов в обеих системах отсчета. Каждый из наблюдателей, глядя на «свои» часы, констатирует, что их период одинаков. Но, глядя на «чужие» часы, которые находятся в относительном движении со скоростью , каждый заявит, что период у них будет больше. Например, наблюдатель, находящийся в системе K обнаружит, что световой импульс пройдет расстояние, равное удвоенной длине гипотенузы, т.е. большее, чем когда часы неподвижны. Причем это расстояние импульс проходит с той же скоростью, что и в неподвижной системе. Следовательно, часы в подвижной системе для этого наблюдателя будут идти медленнее. Обозначим период движущихся часов . Тогда из прямоугольного треугольника следует . Откуда . Так как 2l/c= Dt₀, то , (9.34) где ; v – скорость часов в неподвижной системе K. Отсюда видно, что , т.е. одни и те же часы, находящиеся в разных системах отсчета по отношению к данному наблюдателю, идут по-разному. Движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся. Это явление называют замедлением времени. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем этого тела . Таким образом, в отличие от классической механики течение времени в действительности зависит от состояния движения. Не существует единого мирового времени, и понятие “промежуток времени между двумя данными событиями” оказывается относительным, поскольку зависит от выбора системы отсчета. Абсолютное время классической механики является в теории относительности приближенным понятием, справедливым только при малых (по сравнению со скоростью света) скоростях систем отсчета. Такой же результат можно получить, воспользовавшись преобразованиями Лоренца. Обозначим промежуток времени, прошедший между двумя событиями в системе К^', Т₀ = t₂^' - t₁^', в системе K - Т = t₂ - t₁. Запишим преобразования Лоренца: ; . Учитывая, что x₁^' = x₂^' (в системе К^' часы покоятся), определяем Т, вычитая почленно из второго равенства первое: или ; . (9.35) Из формул (9.35) видно, что наименьшую длительность Т₀ промежуток времени имеет в той системе отсчета, в которой оба события произошли в одной и той же точке пространства, в любой другой системе отсчета он будет иметь длительность тем большую, чем больше скорость v. Следует отметить, что речь идет не о каком-либо физически реальном изменении хода часов. Это связано с тем, что одна и та же пара событий разделена различными промежутками времени в разных системах отсчета. Для систем отсчета, движущихся со скоростью v<<c, промежуток времени между двумя событиями является приближенно абсолютной величиной. Поэтому в механике макроскопических тел и в обыденной жизни релятивистское замедление хода движущихся часов не играет никакой роли. В отличие от формулы сокращения длины (9.33) формула замедления времени (9.35) получила непосредственное экспериментальное подтверждение при изучении распада μ-мезонов, которые образуются в атмосфере Земли на небольших высотах под влиянием космических лучей. Они представляют собой частицы более тяжелые, чем электроны, но более легкие, чем протоны и нейтроны - масса их приблизительно равна 206 электронных масс. Эти частицы неустойчивые и распадаются за очень малый промежуток времени на электрон или позитрон (в зависимости от знака заряда μ-мезона) и две легкие нейтральные частицы нейтрино, т.е. эти частицы обладают малым временем жизни. С учетом этого они не должны были бы достигать поверхности Земли. Однако μ-мезоны обнаруживаются на поверхности Земли. Многочисленные опыты показывают, что в пределах экспериментальных ошибок соотношение выполняется достаточно точно. Лекция 10. Релятивистская динамика Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Лоренца. Работа и энергия. Полная энергия частицы. Четырехмерный вектор энергии-импульса частицы. Преобразования импульса и энергии. Закон сохранения четырехмерного вектора энергии и импульса. 10.1. Релятивистская масса и релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Лоренца. Работа и энергия. Полная энергия частицы В классической динамике основными величинами являются: сила F - мера воздействия одного тела на другое (сила изменяет состояние движения, приводит к возникновению ускорения); масса m - индивидуальная постоянная, характеризующая инертность тела, т.е. степень его неподатливости сообщению ускорения; количество движения (импульс) p = mv - векторная величина, мера движения, указывающая на его направленность; кинетическая энергия W_к = =(mv²)/2 - скалярная величина, характеризующая движение только с количественной стороны. Между скоростью, силой, импульсом и кинетической энергией существует связь: , (10.1) т.е. скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе (второй закон Ньютона), а скорость изменения кинетической энергии равна работе этой силы за единицу времени (мощности). Импульс и кинетическая энергия, как две меры движения, обладают существенными преимуществами по сравнению со скоростью, ускорением и т.п., так как для них имеют место так называемые законы сохранения. Кроме того, эти понятия являются распространенными и в других разделах физики. В классической динамике указывалось на то, что второй закон Ньютона в виде не применим в том случае, когда скорость движения тела (ее численное значение) стремится к численному значению скорости распространения света в вакууме, т.е. в релятивистских случаях. Оказывается, что второй закон Ньютона в данной форме не согласуется с принципом относительности СТО, не инвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, не может представлять собой точный закон природы, а является законом приближенным, справедливым только при малых скоростях движения тел. Причина в том, что масса движущихся тел зависит от их скорости движения. Кроме того, между массой всякого физического объекта и присущей ему (во взаимосвязи с окружающей средой) энергией W(E) имеет место, следующее соотношение: E = mc², (10.2) где Е - полная энергия физической системы, включая энергию образующих ее частиц и полей; m - масса системы. На это со всей определенностью указывает опыт современной техники ускорения заряженных частиц микромира и экспериментальные подтверждения при многочисленных ядерных превращениях и фотоэлектрических явлениях. Эксперимент указывает на то, что при больших скоростях масса тела должна зависеть от абсолютной величины его скорости: m = m(v); . (10.3) Вид этой функциональной зависимости может быть однозначно установлен, если воспользоваться законом сохранения импульса и релятивистским законом сложения скоростей. Кроме того, его можно получить из следующих соображений. Так как для всех движений справедливо соотношение , то, учитывая, что dl/dt = v и d(mv) = m×dv + v×dm, имеем c²×dm = v²×dm + mv×dv. После разделения переменных получим . Интегрирование в пределах изменения скорости от 0 до v приводит к искомой зависимости в виде , (10.4) где b = v/c; m - масса движущегося тела; m₀ - масса покоя. Из выражения (10.4) видно, что с ростом скорости движения тела его масса увеличивается и при приближении скорости к скорости света в вакууме возрастает неограниченно. Согласно этой формуле масса тела - величина относительная, поскольку в разных системах отсчета скорость тела различна. Инвариантной величиной является только масса покоя m₀. С учетом (10.4) запишем выражение для релятивистского импульса . (10.5) Таким образом, в релятивистской динамике между импульсом тела и скоростью нет прямой пропорциональной зависимости, как в классической физике, а существует более сложная зависимость, выражаемая формулой (10.5) (рис.10.1). Уравнение движения в релятивистской динамике (уравнение второго закона Ньютона) как закон изменения релятивистского импульса со временем имеет вид . (10.6) Оно удовлетворяет требованиям принципа относительности, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы к другой и, следовательно, это уравнение инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы в отсутствие внешних воздействий остается величиной постоянной. Уравнение (10.6) позволяет найти выражение для кинетической энергии тела. По определению приращение кинетической энергии равно работе силы: . (10.7)

С учетом того, что , дифференцируя (10.7), найдем

и, следовательно,

, (10.9)

где B - постоянная интегрирования.

При v = 0 W_k = 0, В = - m₀×c². Тогда кинетическая энергия тела, т.е. избыток энергии, которым обладает движущееся тело по сравнению с покоящимся телом, будет равна

. (10.10)

Рассмотрим случай малых скоростей по сравнению со скоростью света в вакууме. Для чего разложим в ряд по степеням :

Тогда выражение (10.10) для кинетической энергии примет вид

(10.11)

Из формулы (10.11) видно, что классическое выражение кинетической энергии представляет собой первое приближение к истинной величине W_k, справедливое лишь при малых скоростях.

Так, например, при скорости частицы v, составляющей 0,1 скорости света, второе слагаемое в (10.11) составляет 0,75% от первого, а при скорости v = 0,5 скорости света релятивистская кинетическая энергия, вычисленная по формуле (10.10), превышает классическое значение на 35%. При v®c кинетическая энергия тела неограниченно возрастает.

Надо отметить, что масса покоя является мерой внутренней энергии в теле, а именно запас внутренней энергии в теле пропорционален массе покоя этого тела:

Е_вн = m₀×c². (10.12)

Полная энергия тела складывается из внутренней энергии и кинетической энергии тела как целого:

, (10.13)

где - релятивистская масса.

Таким образом, масса тела является мерой запаса полной энергии тела. Всякое изменение энергии тела на величину DЕ влечет за собой изменение массы тела на Dm, причем

. (10.14)

Уравнения 10.13 и 10.14 выражают один из важнейших законов современной физики - закон взаимной связи массы и энергии.

Закон взаимной связи энергии и массы является универсальным законом - всякая материя (вещество в обычном смысле или излучение), обладающая энергией Е, обладает тем самым и массой m, равной E/c².

По аналогии с разделением полной энергии на внутреннюю энергию Е_вн и кинетическую W_к можно ввести деление релятивистской (полной) массы на массу покоя m₀ и кинетическую массу m_k, равную

. (10.15)

Теория относительности, таким образом, внесла существенные изменения в понятие массы тела: масса тела, как характеристика его инертности, оказывается величиной не постоянной, как это считается в классической физике, а зависит от скорости: чем больше кинетическая энергия тела, тем больше и его масса. Кроме того, закон взаимной связи энергии и массы показывает, что масса зависит не только от энергии движения тела (от скорости), но и от запаса внутренней энергии. Это означает, например, что сжатая или растянутая пружина (напряженная пружина) имеет массу большую, чем ненапряженная пружина, что нагретое тело тяжелее холодного, намагниченный кусок железа тяжелее, чем не намагниченный. В отличие от классической физики в теории относительности существует общее выражение для запаса энергии тела, независимо от того, из каких видов энергии этот запас складывается (механическая, электромагнитная, внутриядерная и др.) - общая энергия тела или системы тел пропорциональна общей массе.

Закон взаимной связи энергии и массы применяется для расчета энергии, выделяемой при ядерных превращениях.

В классической и релятивистской физике в трактовке законов сохранения массы и энергии существует принципиальное отличие.

В классической физике имеются два фундаментальных закона природы:

1) закон сохранения массы (закон сохранения вещества);

2) закон сохранения энергии.

Согласно первому из этих законов, в замкнутой системе тел при любых физических и химических процессах масса системы остается неизменной:

m = const. (10.16)

Согласно второму закону, в замкнутой системе тел, находящейся в консервативном (независящем от времени) поле, при любых физических и химических процессах полная энергия системы остается величиной постоянной:

E = const. (10.17)

Эти два закона являются совершенно независимыми друг от друга, так как величина массы не определяет величину энергии, и наоборот. Более того, можно указать такие случаи, когда закон сохранения массы, с точки зрения классической физики, выполняется, а закон сохранения энергии нет (например, система зарядов в переменном электрическом поле). С точки зрения классической механики, масса является величиной аддитивной, т.е. масса системы равна сумме масс тел, составляющих эту систему. Поэтому закон сохранения массы в классической физике может быть сформулирован как закон сохранения суммы масс: в замкнутой системе тел сумма масс тел, вступающих в реакцию, равна сумме масс тел, возникающих в результате реакции:

. (10.18)

В противоположность этому энергия не является величиной аддитивной: энергия системы тел не равна сумме энергий тел, составляющих эту систему, так как в общем случае существует еще энергия взаимодействия тел.

Энергия системы тел выражается формулой

, (10.19)

где величины E_i представляют собой энергии составных частей системы, а W - энергию их взаимодействия.

В теории относительности существует единый закон сохранения энергии-массы. Действительно, поскольку между энергией и массой тела (системы тел) существует связь , то из закона сохранения массы для замкнутой системы (m = const) вытекает и закон сохранения энергии (E = const), и наоборот.

Однако содержание релятивистского закона сохранения массы значительно глубже, чем в классической физике.

Прежде всего, масса системы согласно теории относительности не равна сумме масс составляющих ее тел. Действительно, из равенства

, (10.20)

поделив обе части равенства на c², получим

, (10.21)

где m - масса системы;

m_i - масса изолированных тел, составляющих систему.

Заметим, что масса системы может быть больше и меньше суммы масс, составляющих ее тел.

Рассмотрим следующий практически важный случай. Пусть имеется устойчивая система частиц, обладающая известным запасом прочности (например, кристалл, атом, атомное ядро). Для того, чтобы разделить такую систему на составные части (разрушить кристаллическую решетку, т.е. расплавить или испарить кристалл; отделить электроны от атома; разделить ядро на протоны и нейтроны), необходимо совершить некоторую работу. Эта работа, очевидно, тратится на увеличение энергии частиц, составляющих систему. Поэтому сумма энергий разделенных частиц в этом случае больше энергии системы на величину энергии, которую принято называть энергией связи:

. (10.22)

Поделив равенство (10.22) на c², получим

. (10.23)

Из формулы (10.23)видно, что сумма масс разделенных частиц больше массы системы на величину энергии связи, деленную на c². Разность между суммой масс частиц и массой системы принято называть дефектом массы Dm. При этом

. (10.24)

Видно, что чем прочнее система, чем больше ее энергия связи, тем больше дефект массы. Для химических соединений, обладающих сравнительно небольшой прочностью, энергия связи мала и дефекты масс оказываются далеко за пределами возможности экспериментального обнаружения. В ядерной физике дефект масс существенен, а следовательно, и велика энергия связи. Так, например, энергия связи ядра гелия в миллионы раз (»28 MeV) больше энергии связи химического соединения молекулы воды. Для того чтобы расщепить 1 г гелия на протоны и нейтроны, надо затратить энергию, равную 1,9×10⁵ кВт∙час.

Надо заметить, что из закона взаимосвязи энергии и массы не вытекает факт о возможности превращения массы в энергию, и наоборот. Например, часто утверждают, что при делении ядер урана часть его массы превращается в энергию. Это неправильное представление возникает в результате нечеткого понимания различия между массой покоя (с которой только и имеет дело классическая физика) и полной массой (понятием теории относительности). Следует подчеркнуть, что сразу после деления ядра урана полная масса его осколков в точности равна полной массе исходного ядра, так же, как и полная энергия его осколков равна полной энергии исходного ядра. В процессе деления происходит только частичное превращение массы покоя исходного ядра в кинетическую массу осколков и соответственно этому частичное превращение внутренней энергии исходного ядра в кинетическую энергию осколков.

Известно, что в теории относительности, имеющей массу покоя m₀ и движущейся со скоростью v,полная энергия частицы и ее импульс выражаются формулами

; .

Воспользовавшись этими формулами, получим соотношение, связывающее полную энергию и импульс релятивистской частицы в векторной форме:

. (10.25)

Исключив из этих формул скорость v, получим связь между импульсом и полной энергией в скалярной форме:

. (10.26)

Связь между импульсом и кинетической энергией может быть представлена как

. (10.27)

Формула (10.26) показывает, что для частиц с нулевой массой покоя энергия пропорциональна импульсу:

E = c×p; p = E/c. (10.28)

Кроме того, из (10.26), согласно теории относительности, существование частиц с нулевой массой, возможно, причем эти частицы должны обладать двумя важнейшими свойствами:

1) они должны двигаться со скоростью света в вакууме c;

2) их импульс и энергия должны быть связаны соотношением (10.28).

Эти свойства сближают пока гипотетические частицы со световым излучением; как известно, излучение тоже распространяется в вакууме со скоростью c и обладает количеством движения (импульсом), связанным с энергией соотношением p = E/c. Это позволяет возродить на новых началах отброшенную в начале ΧΙΧ в. корпускулярную теорию света и рассматривать свет как поток корпускул с нулевой массой покоя. Эти частицы получили название световых квантов, или фотонов.

Основные свойства фотонов:

1. Масса покоя фотонов равна нулю: m₀ = 0.

2. Фотоны движутся со скоростью света в вакууме: v = c.

3. Поскольку энергия покоя фотонов равна нулю, их полная энергия равна кинетической энергии, причем она связана с импульсом фотона соотношением

E = c×p. (10.29)

4. Не обладая массой покоя, фотоны обладают кинетической массой, которая равна полной массе:

. (10.30)

Таким образом, фотоны обладают инертностью, причем эта инертность тем больше, чем больше энергия и импульс фотона.

5. Отсутствие у фотона массы покоя означает физически, что покоящиеся фотоны не существуют в природе. Прекращение движения фотона, остановка фотона. Означает его поглощение атомом. При этом масса фотона, энергия фотона и импульс фотона не исчезают, а передаются поглотившему атому. Поглощенный фотон исчезает как индивидуальная частица с соблюдением законов сохранения энергии и импульса.

10.2. Четырехмерное пространство - время. Преобразования в четырехмерном пространстве

Дата добавления: 2014-01-06