Задачи и целевой функции

Выпуклость множества допустимых решений

Практических экстремальных задач

Методы исследования функций классического анализа

Применение понятия «производной функции» при решении

При реше­нии многих экстремальных задач часто используют различные частные приемы. Однако суще­ствует достаточно общий прием решения таких задач, основан­ный на методах математического анализа. Интересно напомнить, что одна из причин возникновения математического анализа (особенно дифференциального исчисления) связана с необходи­мостью решения практических экстремальных задач. Из курса «Алгебра и начала анализа» для IX. класса известно, что для нахождения наибольшего и наименьшего зна­чений функции у = f (х), дифференцируемой в ] а;b [, можно поступить следующим образом:

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие [а; b],

2) Найти значения функции в этих точках и на концах про­межутка. Наибольшее и наименьшее из этих чисел будут соот­ветственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.

Нетрудно видеть, что если непрерывная функция дифферен­цируема в интервале и имеет единственный экстремум, то в слу­чае максимума это будет ее наибольшее значение, а в случае минимума — наименьшее. При этом правило нахождения наи­большего и наименьшего значений функции упрощается.

Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х³ - 3х² + 1 на [-1; 4].

Решение. Найдем производную функции f(х): f´(х) = 3х² - 6х Она существует во всех точках.. Решив уравнение Зх² - 6х = 0, найдем критические точки:

х₁ = 0, х₂= 2. Теперь составим та­блицу значений функции в критических точках и на концах отрезка:

Х	-1
f(х)	-3		-3

Из этой таблицы видно, что наименьшее значение равно —3, а наибольшее 17.

Задача 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = х²- 2х + 3 на [0; 2].

Решение. Функция имеет единственный экстремум (минимум) в точке х = 1, которая принадлежит отрезку [0; 2]. Поэтому x = 1 есть наименьшее значение данной функции на [0; 2]. Далее, y(0) = 3, y(2) = 3. Наибольшее значение (3) функция достигает на обоих концах отрезка.

Для решения задач математического программирования существенно важно знать:

1) Выпукло или не выпукло множество допустимых решений задачи;

2) Яв­ляется ли целевая функция выпуклой или вогнутой или она не относится ни к тому, ни к другому классу.

Напомним необходимые определения. Говорят, что множество выпукло, если оно вместе с любыми своими точками А и В со­держит и все точки отрезка АВ. На рис.1. представлены примеры выпуклых множеств точек плоскости. Примерами выпуклых множеств в пространстве могут служить сфера, пира­мида, призма и т. д.

Рис. 1.

Область является выпуклой, если отрезок пря­мой, соединяющей любые две точки области, принадлежит этой области. Следовательно, если х_х и х₂ находятся в этой области, то любая точка вида (θ х₂ + (1 — θ ), где 0 < θ < 1, находится в этой же области. На рис.2. - а изображена выпуклая область, а на рис.1. - б — невыпуклая.

Рис. 2.

На рис.3. изображены примеры невыпуклых множеств. В невыпуклом множестве можно указать хотя бы две точки, такие, что не все точки отрезка АВ принадлежат рассматри­ваемому множеству. Как пример невыпуклого множества в про­странстве можно указать тор.

Рис. 3.

Функцию у = f (х) одной переменной будем называть выпуклой, если отрезок, соединяющий две любые точки её графика, при­надлежит графику или расположен выше его (рис.4.). Функция вогнута, если отрезок, соединяющий две любые точки графика, принадлежит ему или расположен ниже его (рис.5.).

Рис.4. Рис.5.

Аналогично можно сформулировать определения понятий вогнутой и выпуклой функций нескольких переменных. Мы го­ворим, что гиперповерхность Z = f (х_1, х₂,..., х_п) выпуклая, если отрезок, соединяющий две ее любые точки, лежит на поверхности или выше ее. Гиперповерхность Z = f (х_1, х₂,..., х_п) вогнута, если от­резок, соединяющий две ее любые точ­ки, лежит на поверхности или ниже ее.

Локальный и глобаль­ный минимум функция f(х).

Функция f(х) имеет локальный минимум в точке х₀, если существует не­которая положительная величина δ, такая, что если | х - х₀| < δ, то f(х) ≥ f(х₀) т. е. если существует окрестность точки х₀, такая, что для всех зна­чений х в этой окрестности f(х) больше f(х₀)

Функция f(х) имеет глобаль­ный минимум в точке х*, если для всех х справедливо неравенство f(х) ≥ f (х^*).

На рис.6. дано графическое представление функции f (х), которая имеет локальный минимум в точке х₀ и глобальный минимум в точке х*.

Рис.6.

Классический подход к задаче нахождения значений х₀ и х* состоит в поис­ке уравнений, которым они должны удовлетворять. Представленная на рис. функция и ее производные непрерывны, и видно, что в точках х₀ и х* производная f''(х), (градиент функции) равна нулю. Следовательно, х₀ и х* будут решениями уравнения f''(х) = 0. Точка х_т, в которой достигается локальный максимум, и точка х_c, в ко­торой имеется точка горизонтального перегиба функции, также удовлетворя­ют этому уравнению. Следовательно, уравнение f''(х) = 0 является только необходимым условием минимума, но не является достаточным условием мини­мума. Заметим, однако, что в точках х₀ и х* производная f''(х) меняет знак с отрицательного на положительный. В точке х_т знак

меняется с положитель­ного на отрицательный, в то время как в точке х_с он не меняется. Следова­тельно, производная в минимуме является возрастающей функцией, а по­скольку степень возрастания f''(х) измеряется второй производной, можно ожидать, что f'''(х₀) > 0, f'''(х^*) > 0, тогда как f''' (х_т) < 0. Если, однако, вторая производная равна нулю, ситуация остается неопре­деленной. Полученные выше результаты могут найти надежное обоснование, если рассмотреть разложение функции f(х) в ряд Тейлора в окрестности точки х₀ (или х*, или х_т), что, конечно, требует непрерывности функции f (х), и ее производных:

+ меняет знак с положительного на отрицательный, а при

х = 1 - с отрицательного на положительный. Следовательно, в точке х = 1/3 дости­гается максимум, а в точке х = 1 - минимум. Этот пример может быть решен более простым способом, если вычислить вторую производную f''' = 6х — 4: f'''1/3) = -2, т. е. отрицательна, и при х = 1/3 достигается максимум; f''' (1) = 2, т. е. положительна, и при х = 1 достигается минимум. Неоднозначность, возникающую при f''' (*) ⁼ 0, можно разрешить, увели­чив количество членов в формуле разложения в ряд Тейлора

:

+) + Х локального максимума (локального ми­нимума), если найдется такое число > 0, что для всех х_, удовлетворяю­щих неравенству | х—х₀| <, выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀) (f(х) ≥ f(х₀)). Точка х₀, в которой функция дости­гает локального максимума (миниму­ма), называется точкой локального мак­симума (минимума). Рассмотрим при­мер. На рис. 7 изображён график некоторой функции одной переменной, определенной на [1; 10] (заметим, что эта функция не является ни выпук­лой, ни вогнутой). Функция имеет на [1; 10] три точки локального мини­мума (х₁= 3,

х₂ = 6, х₃ = 9) и две точки локального максимума (x₄ = 5, x₅ = 8).

Пусть функция Z = f (х) определена на замкнутом множестве X. Если х₀Х

и f(х) ≤ f(х₀) (f(х) ≥ f(х₀)). любой точки х₀Х, то говорят, что в точке х₀ функция достигает абсолютного максимума (абсолютного минимума). Вместо термина «абсолют­ный» часто используют термин «глобальный». Иными словами, глобальный максимум функции есть ее наибольшее значение в области определения, а глобальный минимум - наименьшее значение. Глобальный максимум и глобальный минимум назы­вают глобальными экстремумами функции. На рисунке 6 пред­ставлен график функции, глобальный минимум которой равен 2

Рис.7

и совпадает с наименьшим из локальных минимумов. Глобальный же максимум, равный 9, достигается функцией в точке x₆ =10 и не совпадает с наибольшим из локальных максимумов.

Дата добавления: 2014-01-06