Поэтому необходимо применять более строгие и общие методы

Предположим, что исследуется на экстремум точка с координатами:

удовлетворяющими системе уравнений (111,3). Разложим функцию

в окрестности точки (111, 6) в ряд Тейлора по степеням прираще­нии переменных

Тогда получим:

В записи выражения (111,9) использована сокращенная форма представления членов разложения с производными выше первого порядка. Например, для функции двух переменных член

раскрывается как

Аналогично раскрываются и члены более высокого порядка при большем числе независимых переменных. Опуская в разложении (111,9) члены, имеющие порядок мало­сти по выше второго, и принимая во внимание, что члены пер­вого порядка малости по обращаются в нуль, поскольку коор­динаты точки удовлетворяют системе (111,3), получим следую­щее приближенное равенство:

Из выражения (111,11) следует, что знак приращения функции в достаточно малой окрестности точки определяется произ­водными второго порядка от R(x) по всем переменным, включая и смешанные производные. Для того чтобы точка являлась точ­кой экстремума функции R(x), достаточно при любых малых приращениях независимых переменных правой части выражения (111,11) оставаться положительной для точки минимума и отрицательной для максимума. Поскольку вторые производные в выражении (111,11) вычис­ляются в точке, они могут рассматриваться как постоянные числа. В этом случае для анализа знака правой части выражения (111,11) не обязательно требовать малости величин. Taким образом, вопрос о знаке приращения функции R может решаться анализом знака квадратичной формы

коэффициенты которой связаны с производными в правой части выражения (111,11) соотношениями

=

Квадратичная форма называется положительно опреде­ленной, если для любых значений z_p она сохраняет положи­тельное значение, за исключением точки z_p = 0 (р = 1, ..., п), в которой она обращается в нуль. Для того чтобы найти, является ли данная квадратичная форма положительно определенной, мож­но воспользоваться теоремой, которая формулируется следующим образом. Для положительной определенности квадратичной фор­мы (111,12) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра:

(111.14)

Условия (111, 14) означают, что квадратичная форма (111, 12) будет положительно определенной в том случае, если все главные миноры соответствующей ей матрицы

, (111.15)

составленной из коэффициентов, будут строго положительны.

Таким образом, если решен вопрос о положительной опреде­ленности квадратичной формы (111,12), где коэффициенты рас­считываются по формулам (111, 13), то тем самым решается за­дача и о типе точки координаты которой удовлетворяют си­стеме уравнений (111,3), исследуемой на экстремум. Так, когда квадратичная форма, соответствующая правой части выражения (111,11), оказывается положительно определенной, ис­следуемая точка является точкой минимума.Если условия положительной определенности не выполняются, но все главные миноры матрицы (111,15), имеющие нечетный по­рядок, отрицательны, т. е. для миноров нечетного порядка в нера­венствах (111, 14) знак неравенств изменяется на обратный, то квадратичная форма (111,12) будет отрицательно опреде­ленной и, следовательно, функция R(x)в точке имеет максимум. Если же условия положительной и отрицательной определенностей квадратичной формы (111,12) не выполняются, но все главные миноры отличны от нуля, то в исследуемой точке функция R(x) не имеет ни максимума, ни минимума. При обращении в нуль главных миноров матрицы (111, 15) вопрос о наличии экстре­мума в исследуемой точке решается сложнее, с использованием производных более высокого порядка.

Дата добавления: 2014-01-06