Нахождение обратной матрицы в Microsoft Excel

Для нахождения обратной матрицы используется стандартная функция МОБР.

Функция возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

МОБР (массив)

Массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Решение примера 1.3. в Microsoft Excel:

1. Запускаем Microsoft Excel, если запущен, то переходим на новый лист.

2. Вводим матрицу А в диапазон ячеек А2:С4.

3. Выделяем свободные ячейки А6:С8 куда будет выведен результат.

4. В меню Вставка>Функция выбираем функцию МОБР. Вводим в поле массив диапазон ячеек А2:С4. Нажимаем ОК, затем для корректного вывода массива чисел нажимаем клавишу F2, а затем сочетание клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

5. В результате выполненных операций в ячейках А2:С4 будет записана обратная матрица .

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы -ого порядка, где . Определители таких подматриц называются минорами -ого порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения следует:

а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. 4

б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0;

в) для квадратной матрицы -ого порядка тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразования матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов сроки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженного на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно матрицу к ступенчатому виду (когда все элементы расположенные выше (ниже) главной диагонали равны нулю), когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Рассмотрим алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Пример 4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

1) Если , то при перестановке строк или столбцов добиваемся того, что . В данном примере поменяем местами, например, 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2) Если , то умножая элементы 2-й, 3-й и 4-й строк на подходящие числа (именно на , , ) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк, добьемся того, чтобы все элементы 1-го столбца (кроме ) равнялись нулю:

3) Если в полученной матрице (у нас ), то умножая элементы 3-й и 4-й строк на подходящие числа (а именно, на , ), добьемся того, чтобы все элементы 2-го столбца (кроме ) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей (как в данном примере), то отбрасываем эти строки (или столбцы):

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например, . Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2.

ТЕМА 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

Дата добавления: 2014-01-06