![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Квадратичная форма. Исследование на знакоопределенность квадратичной формы
Линейный оператор. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Проверка на базис. Сложение, вычитание векторов, угол между векторами, скалярное произведение векторов. ТЕМА 3: ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.
1. СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ, УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Суммой двух векторов Очевидно, что вектор
Рис. 1. Разностью двух векторов Рис. 2. Координатами вектора Если А произведение вектора Длина вектора равна корню квадратному его из суммы квадратов его координат: Скалярным произведением Угол между векторами Пример 3.1. Даны векторы: Найти: а) векторы б) длины векторов в) скалярный квадрат вектора г) скалярное произведение векторов д) угол меду векторами Решение: а) По определению б) Найдем длины векторов:
в) Скалярный квадрат вектора г) Найдем скалярное произведение: д) Найдем угол между векторами: откуда
2. ПРОВЕРКА НА БАЗИС.
Совокупность Векторы
Если три вектора являются линейно независимыми (т.е. являются базисом) то они компланарны (не лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях). Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов, заданных в декартовом базисе, является равенство нулю определителя третьего порядка, в первой строке которого записаны координаты первого вектора, во второй строке – второго, в третьей – третьего. Пример 3.2. Проверить, образуют ли вектора
Решение. Базис в трехмерном пространстве могут образовывать любые три линейно независимые вектора, для этого построим определитель, и убедимся что он не равен нулю. Итак, векторы где Решая полученную систему уравнений получим
3. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору Оператор называется линейным, если для любых векторов 1. 2. Вектор Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице Связь между вектором
где А – матрица линейного оператора, Пример 3.3. Пусть в пространстве Решение. По формуле Следовательно,
4. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Вектор
Число Равенство отсюда получим:
Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы Определитель
Пример 3.4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Решение. Составляем характеристическое уравнение откуда собственные значения линейного оператора Находим собственный вектор
Откуда находим Аналогично определяем вектор
5. ИССЛЕДОВАНИЕ НА ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Квадратичной формой
Предполагается, что коэффициенты квадратичной формы В матричной записи квадратичная форма имеет вид: где Теорема. Для того чтобы квадратичная форма Если собственные значения В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра. Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е.
Для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка:
Если не один из критериев не выполняется, то знакоопределённость матрицы не устанавливается. Пример 3.5. Проверить знакоопределенность квадратичной формы a) б) Решение: а) При помощи собственных значений: Матрица
Решая уравнение найдем При помощи критерия Сильвестра: Так как главные миноры матрицы А положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная. б) Матрица квадратичной формы имеет вид Главные миноры матрицы А:
Так как знаки миноров чередуются начиная со знака «минус», то это означает что квадратичная форма отрицательно определена.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 11930; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |