Основные понятия

ТЕМА 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово «обыкновенные» будет опускаться).

В общем виде дифференциальное уравнение можно записать в виде:

где - некоторая функция переменных, , при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение -ого порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

где - некоторая функция от переменной.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция является решением уравнения , так как .

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример 12.1. Решить уравнение .

Решение. Поскольку , то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов: . Выполняя почленное интегрирование, получаем , где - произвольная постоянная. Вновь записываем производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству . Интегрируя почленно, окончательно получаем , где - произвольная постоянная.

Общим решением дифференциального уравнения -ого порядка называется его решение

которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных . Их можно получить если заданы дополнительные условия, которые называют которые называют начальными. Например, если известно, что и , то в примере 12.1 получаем решение . Тогда - общее решение, - частное решение дифференциального уравнения .

2. НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от , либо только от . Рассмотрим такие решения таких уравнений.

1. Уравнение или . Перепишем уравнение в виде , откуда его решение .

2. Уравнение

.

Его решение удобно искать в виде , т.е. считать, что переменная обозначает независимую переменную, а переменная - функцию. (Поскольку , то уравнение можно записать в виде

и, ввиду инвариантности формы дифференциала, считать переменные и равноправными). В этом случае из получаем и

.

Пример 12.2. Решить уравнение

Решение. Найдем решение в виде . полагая, что из формулы получаем и

откуда и . Полагая, что произвольная постоянная , получим . (Заметим, что полученное общее решение уравнения при дает частное решение , «потерянное» в процессе преобразований.).

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

где , , - некоторые функции переменной ;

- функции переменной .

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.

Пример 12.3. Решить уравнение .

Решение. Приведем уравнение к виду .

;

Делим обе части уравнения на :

Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения

;

При делении на могли быть потеряны решения и , т.е. . Очевидно, что - решение уравнения , а нет.

Уравнения вида

где и - некоторые числа, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой (или , где - некоторое число).

Пример 12.4. Решить уравнение:

.

Решение. Положим . Тогда , откуда и исходное уравнение приводится к виду:

который допускает разделение переменных. Действительно, выражая из последнего равенства , получаем

и, следовательно,

Выполним почленное интегрирование данного равенства.

или .

Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем:

или

где .

Дата добавления: 2014-01-06