Тейлора и Маклорена

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД

Пусть функция имеет в т. и некоторой ее окрестности производные любого порядка. Ряд

(5.1)

называется рядом Тейлора для функции f (x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности т. ряд сходится и имеет суммой f (x), т.е.

,

то f (x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности т. (или по степеням ). Если x = 0, то ряд Тейлора имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Теорема 8. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности т. , необходимо и достаточно, чтобы .

- остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид: ,

При разложении в ряд Тейлора применяют следующие приемы:

1) Непосредственное разложение в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a)формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят для любых n, вычисляют и подставляют найденные значения в (5.1); b) находят область сходимости ряда (5.1); c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е. для каких x имеет место равенство: .

2) Использование готовых разложений:

.

Пример. Разложить в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2.

Ñ Решим эту задачу двумя способами.

I способ. Используем непосредственное разложение функции в ряд Тейлора:1)

;

……………………………………………………

……………………………………………………

Вычислим найденные производные в т. x = 2:

…,

,…

Составим формально ряд Тейлора:

(5.2)

б) Найдем область сходимости ряда (5.2), используя признак Даламбера:

Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (5.2) сходится на всей числовой оси: .

в) Докажем, что при всех x ряд (5.2) сходится к , для чего достаточно показать, что при :

при

. Как результат решения задачи можем записать:

, .

II способ. Разложим в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2, используя готовое разложение. Преобразуем следующим образом:

.

В ряд Маклорена для cos x

(5.3)

справа и слева вместо x подставим , получим:

; (5.4)

(т.к. в (5/3) #

Дата добавления: 2014-01-06