Затухающие колебания

Решением полученного уравнения, как нетрудно видеть, является гармоническая функция

q = q_мcos (w_оt + j).

Амплитуда q_м и начальная фаза j колебаний заряда определяются внешними факторами, воздействиями: сообщенным зарядом конденсатору и соответствующим моментом времени.

Для периода Т_о собственных колебаний в контуре получается выражение

Т_о = 2p/w_о = 2pÖ(LC), которое называется формулой Томсона.

В соответствии с формулой Томсона период собственных колебаний заряда в контуре возрастает с ростом емкости конденсатора и индуктивности катушки.

При неизменном исходном заряде на конденсаторе увеличение его емкости приводит к уменьшению энергии электрического поля конденсатора, а значит и к уменьшению энерги магнит­ного поля катушки: q_м²/2C = LI_м²/2 (их максимальных значений). Отсюда следует уменьшение максимального и, соответственно, и среднего значения разрядного тока. А меньшим током тот же заряд будет дольше «стекать» с конденсатора (конденсатор будет дольше разряжаться), следова­тельно, период колебаний заряда в контуре будет больше.

Аналогично при увеличении индуктивности катушки при том же значении ее энергии умень­шается сила разрядного (и перезарядного) тока, а меньшим током конденсатор будет разряжаться и перезаряжаться дольше, т. е. период колебаний заряда будет большим. Можно это интерпретировать также как результат возрастания ЭДС самоиндукции e_си = - LdI/dt, которая, препятствуя измене­ниям тока, приводит к понижению его среднего значения и удлинению тем самым процессов разряда и перезаряда колебаний в контуре.

Разность потенциалов на конденсаторе:

Dj = q/C = (q_м/C)×cos (w_оt + j)

изменяется синфазно (в одинаковой фазе) с колебаниями заряда, а сила тока

I = dq/dt = - w_о q_м×sin(w_оt + j) = I_м×cos (w_оt + j + p/2) -

- опережает по фазе на 90° колебания заряда. Соответственно сдвинуты по фазе на 90° и колебания энергий электрического и магнитного полей. Будучи квадратичными функциями, соответственно заряда и тока, энергии W_э = q²/2с и W_м = LI²/2 изменяются с удвоенной частотой 2w_о.

В реальных условиях любое движение всегда сопровождается процессами диссипации, т. е. необратимого поглощения и рассеяния энергии. Роль диссипативного элемента в электромагнитных цепях выполняет резистор. Каждую секунду резистор, согласно закону Джоуля - Ленца, превращает в тепло (за счет рассеяния носителей тока на неоднородностях структуры и состава материала) мощность Р = I²R.

Покажем, что собственные колебания заряда и тока в реальном колебатель­ном контуре, содержащем помимо конденсатора и катушки еще и резистор, являются затухающими, т. е. их амплитуда монотонно убывает со временем. Применим закон сохранения и превращения энергии и получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний (ДУЗК) в реальном контуре (контуре с сопротивлением и потерями энергии).

P = I²R = - dW/dt = - d/dt(q²/2C + LI²/2) Þ (dq/dt)×R = - (2q/LC)×dq/dt + 2(dq/dt)×d²q/dt² Þ d²q/dt² + q/LC + (R/L)×dq/dt = 0 Þ

Þ d²q/dt² + 2d×dq/dt + w_о²q = 0 – ДУЗК.

где: w_о = 1/Ö(LC) - собственная частота свободных (незатухающих) колебаний в контуре;

d = R/2L - коэффициент затухания колебаний:

Решить полученное уравнение можно путем замены переменной: q = Qе^-dt.

Подставив в дифференциальное уравнение выражения для заряда q = Qе^-dt и его производных dq/dt = е^-dtdQ/dt – dQе^dt и второй d²q/dt² = е^-dt×d²Q/dt² – 2d×dQ/dt×е^-dt + d²Qе^-dt, получим после сокращения дифференциальное уравнение для новой переменной Q;

е^-dt×d²Q/dt² – 2d×dQ/dt×е^-dt + d²Qе^-dt + 2dе^-dtdQ/dt – 2d²Qе^-dе + w_о²q = 0 Þ d²Q/dt² + (w_о² – d²)Q = 0,

которое представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний величины Q: Q = Q_мcos (wt + j), где w = Ö(w_о² – d²).

Возвращаясь к исходной переменной - заряду q, получим:

q = Qе^-dt = Q_ме^-dtcos (wt + j) = q_м(t)cos (wt + j)

Колебания заряда происходят по гармоническому закону, но с экспоненциально убывающей во времени амплитудой q_м(t) = Q_ме^-dt. Частота свободных затухающих колебаний w = Ö(w_о² – d²) понижается с ростом затухания. Затухание уменьшает среднюю силу разрядного и перезарядного тока в контуре и затягивает тем самым процессы разряда и перезаряда конденсатора, увеличивает период колебаний, уменьшает их частоту.

Для достаточно большого затухания, при котором
d > w_о процесс возвращения системы к состоянию равновесия пере­стает быть колебательным (частота колебаний w = Ö(w_о² - d²) становится мнимой). В этом случае имеет место процесс релаксации - апериодического, монотонного возвращения системы к положению равновесия (монотонный разряд конденсатора; вся энергия разрядного тока успевает перейти в теплоту, рассеяться на рези­сторе за время меньшее периода колебаний).

Коэффициент затухания d является мерой быстроты убывания амплитуды колеба­ний. Численно он равен обратному времени релаксации t - времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раз: q_мt/q_мо = е^-dt = е^-1 = 1/е.

Коэффициент затухания и время релаксации - недостаточно адекватные характеристики затухания, ибо не соотнесены с «естественным» временным масштабом самих колебаний - их периодом Т. Поэтому вводят еще такую меру затухания колебаний, как декремент D затухания, численно равный отношению двух «соседних» амплитуд, то есть амплитуд, разделенных во времени периодом Т:

D = q_м (t)/q_м(t + T) = q_мое^-dt/q_мое^{-d(t + T)} = е^-dt/(е^-dt×е^-dT) = е^dT

Еще более удобной характеристикой затухания колебаний является логарифмический декре­мент затухания q = ln D = dТ Его наглядная интерпретация - величина обратная числу колебаний N_е, совершающихся за время релаксации t. Действительно:

q = dТ = Т/t = 1/(t/Т) = 1/N_е, где N_е = t/Т.

Рассмотрим фазовые соотношения между колебаниями заряда и силы тока в реальном контуре (с потерями энергии, с затуханием).

q = q_мо е^-dt cos (wt + j),

I = dq/dt = q_мо×(-d) е^-dt cos(wt + j) - wq_мо×е^-dt ×sin(wt + j) = q_мо×е^-dt{-dcos (wt + j) - w×sin(wt + j)} = w_оq_мо×е^-dt{(-d/w_о)cos (wt + j) - w/w_о×sin(wt + j)} = w_оq_мо×е^-dtcos(wt + j + Y)

(-d/w_о = cos Y; w/w_о = sin Y

tg Y = - w/d

Y - угол сдвига фаз между колебаниями заряда и силы тока.

Ток опережает по фазе заряд на угол Y, зависящий от d и w. При d = 0 (нет потерь, затухания) Y = p/2.

Дата добавления: 2014-01-06