Математичний опис імпульсних систем з АІМ

Для математичного опису ІС всі сигнали, в тому числі в неперервній частині, розглядаються в дискретні моменти часу Неперервні сигнали подаються у вигляді решітчастих функцій (рис.3.6):

(3.9)

Рис.3.6. Решітчасті функції.

а – неперервний сигнал; б, в – форми представлення решітчастих функцій

Між дискретними значеннями аргументу решітчаста функція дорівнює нулю, а неперервний сигнал є обвідною для решітчастої функції. Послідовність неодиночних імпульсів, які утворюють решітчасту функцію на інтервалі можна подати у вигляді нескінченного ряду:

(3.10)

де: - зміщена - функція, яка існує лише в моменти часу t=iT_n і дорівнює нулю при всіх інших значеннях t. Для решітчастої функції існує дискретне перетворення Лапласа:

(3.11)

Вираз (3.11) отримано з урахуванням того, що зображення суми оригіналів дорівнює сумі їх зображень, а зображення зміщеної - функції дорівнює Дискретне перетворення Лапласа включає трансцендентний множник , тому зображення Х^*(р) та передаточні функції стають ірраціональними функціями аргументу р, що утруднює їх використання. Для отримання передаточних функцій в дрібно-раціональній формі (як для неперервних систем) замінюють аргумент

(3.12)

і отримують зручне для використання Z – перетворення решітчастої функції:

(3.13)

В табл. 3.3 наведені Z – зображення для деяких функцій часу.

Таблиця 3.3

Z – зображення функцій часу

№ п/п	X(t) (t0)	X(iTn)	X(p)	X(Z)
1.
2.	1(t)
3.	t	iTn
4.	t^2	(iTn)^2
5.	e ^-t

Зручність Z – перетворення полягає в тому, що сама форма запису дає простий спосіб прямого та зворотного перетворення:

- для знаходження Z – перетворення за відомою функцією часу необхідно кожне дискретне значення Х(іТ_п) помножити на Z^-i, а потім згорнути отриманий степеневий ряд в кінцеву суму;

- для знаходження оригіналу за відомим зображенням Х(Z) необхідно зображення подати у вигляді степеневого ряду за спадними степенями Z^-i, а отримані при цьому числові коефіцієнти ряду і є дискретними значеннями Х(іТ_п) сигналу Х(t).

Z – перетворення має властивості, аналогічні властивостям звичайного перетворення Лапласа:

- лінійність:

(3.14)

- теорема про початкове значення оригіналу:

(3.15)

- теорема про кінцеве значення оригіналу:

(3.16)

- теорема про зміщення аргументу оригінала (теорема запізнювання):

(3.17)

Для типового імпульсного ланцюга (рис.3.7) вхідний та вихідний сигнали розглядаються в дискретні моменти часу іТ_п (на виході неперервної частини показано фіктивний квантуватель, який працює синхронно з вхідним). Передаточна функція ланцюга буде:

(3.18)

яка зв’язана з ваговою функцією W(t) неперервної частини за допомогою Z – перетворення:

(3.19)

Рис.3.7 Типовий імпульсний ланцюг

Передаточну функцію W(Z) можна визначити за таблицями у відповідності до W(p). Тоді умовно запишемо:

W(Z)=L(W(p)) (3.20)

В типовому ланцюзі після “ключа” може стояти фіксатор, тоді:

(3.21)

Наведені формули точні, але незручні для реальних систем високих порядків. В практичних розрахунках використовують наближені методи переходу від W(p) до W(Z), які засновані на заміні похідної за часом, що є в рівнянні неперервної частини так званою першою різницею:

(3.22)

Підставляючи цю різницю в рівняння інтегратора

(3.23)

отримаємо різницеве рівняння інтегратора:

(3.24)

яке в Z – перетворенні буде:

(3.25)

звідки дискретна передаточна функція інтегратора буде:

(3.26)

Враховуючи, що звичайна передаточна функція інтегратора: W(p)=1/p, отримують наближену формулу для переходу від W(p) до W(Z):

(3.27)

Використовується також більш точний перехід від неперервної частини до дискретної (підстановка Тастона):

(3.28)

Формула (3.27) відповідає наближеному чисельному інтегруванню за методом прямокутників, формула (3.28) – інтегруванню за методом трапецій.

Наближені методи переходу дають найкращі результати при достатньо великій частоті дискретності Тоді частотні властивості імпульсної ланки еквівалентні властивостям неперервної частини з амплітудно-фазовою характеристикою , коли найбільша постійна часу неперервної частини більша Т_п.

Частотні властивості імпульсних систем значно відрізняються від властивостей неперервних систем. Квантуватель за часом, або ідеальний імпульсний елемент, можна розглядати як генератор додаткових гармонік, частота яких дорівнює частоті дискретизації . Спектр сигналу х^*(t), квантованого за АІМ, дорівнює сумі зміщених спектрів неперервного вхідного сигналу х(t):

(3.29)

де: - спектр вхідного квантованого сигналу (рис.3.8,а).

Рис.3.8. Амплітудні спектри сигналів імпульсної системи

При квантуванні амплітуда всіх гармонік зменшується в Т_п разів, тобто імпульсний елемент еквівалентний без інерційній ланці з передаточним коефіцієнтом 1/ Т_п.

Спектр суттєво відрізняється від спектра : він містить як основну складову (k=0), яка співпадає з , так і додаткові складові (k=), які виникають при квантуванні.

Якщо ширина спектра квантуємого сигналу , то додаткові складові в основному діапазоні частот () не спотворюють форму спектра (рис.3.8,б), тобто:

(3.29)

але їх наявність необхідно враховувати при відновленні неперервного сигналу за його дискретними значеннями.

При частоті квантування недостатньо високій () в основному діапазоні спектр спотворюється прилеглими складовими з (рис.3.8,в).

На рис.3.8,г показана амплітудно-частотна характеристика фільтра (формуючого елемента) для відновлення в неперервній формі квантованого сигналу при Штриховою лінією показана АЧХ ідеального фільтра низької частоти:

(3.30)

Реальний фільтр (суцільна лінія) має АЧХ:

(3.31)

Цей фільтр дещо спотворює спектр та частково пропускає гармоніки бокових складових з .

Дата добавления: 2014-01-06