Равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами

Определение 2. Ряд (10) называется мажорируемым в области , если существует сходящийся знакоположительный числовой ряд

, (2)

Такой, что выполняются соотношения:

Пример 2. Очевидно, что ряд

Мажорируем на всей числовой оси, так как , а ряд - сходящийся.

Очевидно, что ряд мажорируемый в , абсолютно сходится в .

Определение 3. Ряд (10), сходящийся на , называется равномерно сходящимся, если что при всех

Теорема 2. Ряд (10), мажорируемый на сходится на этом отрезке равномерно.

Из теоремы 2 следует, что мажорируемость более сильное условие чем равномерноая сходимость, т.е. существует не мажорируемые ряды, сходящиеся равномерно.

Теорема 3. Пусть ряд (10) равномерно сходится на и - его сумма. Тогда если

1. - существует, то

2. - непрерывны в , непрерывна в и

- почленное интегрирование.

Теорема 4. Если ряд (10) сходится на , , а ряд

сходится равномерно на , то

- почленное дифференцирование.

Дата добавления: 2014-01-06