КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Степенные ряды. Интервал сходимости
Степенные ряды, т.е. ряды, члены которых есть степенные функции, являются одним из основных примеров функциональных рядов. Определение. Ряд вида
(3)
называется степенным рядом, а числа называются его коэффициентами. Степенной ряд всегда сходится при . Следующая теорема описывает его область сходимости. Теорема 1. (Теорема Абеля) а) Если степенной ряд (3) сходится в точке (), то он сходится для всех из интервала (см. рис.1,а)). б) Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству (см. рис.1,б)). Рис. 1, а).
Рис.1, б) Доказательство. а) Так как ряд сходится, то согласно необходимому признаку , откуда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует число , такое что . Пусть . Рассмотрим абсолютную сходимость ряда . Получим
. (4) Обозначим через , где и . Сравнивая с помощью первого признака сравнения ряд (10.18) и сходящуюся геометрическую прогрессию , получаем, что (4) сходится. в) Этот пункт доказывается от противного. Допустим, что найдется такое, что для которого ряд (3) сходится. Тогда согласно пункту а) поскольку он должен сходится в точке . Противоречие. Определение. Наибольшее значение такое, что в интервале степенной ряд (10.17) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда (обозначается через ), а интервал называется его интервалом сходимости. Из теоремы Абеля следует, что в интервале ряд (3) сходится, а в интервалах и он расходится (см. рис.2). сходится расходится расходится Рис.2. Сходимость ряда в точке исследуется дополнительно. Если ряд сходится только в точке , то считается равным , а если он сходится для всех , то считается равным .
Для определения радиуса сходимости имеются следующие формулы, получаемые из признаков Даламбера и Коши. , (5) (6) Однако проще находить интервал сходимости путем непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к абсолютным величинам членов ряда (5). Пример22. Найдем область сходимости ряда . Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера, получим . Отсюда получаем, что при , т.е. в интервале (-1,1) этот ряд сходится, а при , т.е. в интервалах и он расходится. Поэтому радиус сходимости ряда и интервал сходимости есть (-1,1). Исследуем концы этого интервала. Подставив в ряд, получим числовой ряд , который является гармоническим расходящимся рядом. Подставив , получим знакочередующийся ряд . Выше с помощью признака Лейбница было проверено, что он сходится. Окончательно получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 358; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |