Числовые ряды. Сходимость и сумма рядов

Вопросы

Числовые ряды

Лекция 8-9

1. Дайте определение числового ряда.

2. Что называется суммой числового ряда?

3. Дайте определение сходимости числового ряда.

4. В чем заключается необходимый признак сходимости числового ряда?

5. Приведите пример числового ряда, для которого необходимый признак выполняется, но, тем не менее, ряд расходится.

6. Знакоположительные ряды.

7. Какие достаточные признаки сходимости вы знаете?

Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.

Понятие ряда означает нахождение суммы бесконечного числа слагаемых. Хотя такую сумму путем непосредственного сложения подсчитать невозможно, ее приближенное значение, взяв большое число слагаемых, казалось бы, несложно получить с помощью компьютера. Но это не совсем так. Теория рядов необходима для того, чтобы прежде всего установить имеет ли данный ряд конечную сумму и, в случае положительного ответа, определить количество слагаемых, которое необходимо взять для того, чтобы найти эту сумму ряда с требуемой точностью.

1. Определение. Выражение вида

или, подробнее, (10.1)

называется числовым рядом, числа называются его членами.

Для определенности будем считать первым членом ряда, хотя ряд может начинаться и с любого другого члена.

Сумма первых слагаемых ряда (10.1) называется его частичной суммой, она обозначается через . При этом

,

,

,

................................

.

Определение. Если существует конечный предел частичных сумм ряда (10.1) при , то это число называется суммой ряда , а ряд в этом случае называется сходящимся: .

Если предел частичных сумм не существует (например, равен ),то ряд называетсярасходящимся. У расходящегося ряда сумма не определена.

Пример1. Рассмотрим ряд, изучаемый в школьной программе – геометрическую прогрессию.

Это ряд вида: .

Здесь - первый член геометрической прогрессии, а называется ее знаменателем.

Частичная сумма геометрической прогрессии определяется формулой

.

Если и , то и геометрическая прогрессия расходится.

Если и , то , и геометрическая прогрессия расходится.

Если и , то

не существует и прогрессия расходится. Итак, при геометрическая прогрессия сходится только при .

При геометрическая прогрессия всегда сходится.

2. Рассмотрим теперь простейшие свойства рядов.

1) Пусть числовые ряды

(10.1)

и

(10.2)

сходятся, и имеют суммы соответственно и , тогда ряд

(10.3)

также сходится и его сумма равна .

2)Если ряд (10.1) сходится, число , то ряд

(10.4)

также сходится и его сумма равна .

Если же ряд (10.1) расходится и , то ряд (10.4) расходится.

Это свойство означает, что постоянный множитель можно выносить из всех членов сходящегося ряда.

3) Если в ряде (10.1) изменить, добавить или отбросить конечное число членов, то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (10.1) сходился, то новый ряд также сходится, а если ряд (10.1) расходился, то новый ряд расходится.

Пример2. Так как ряд

сходится (это геометрическая прогрессия с ), то ряд

также сходится.

Теорема 1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд

сходится, то предел его членов при равен ; т.е. .

Доказательство. Поскольку последовательность частичных сумм ряда сходится, то

и .

Вычитая из первого соотношения второе получим

, т.е.

что и требовалось доказать.

Условие является только необходимым, оно не является достаточным для сходимости ряда. Об этом свидетельствует пример гармонического ряда

.

Как будет проверено в дальнейшем, этот ряд является расходящимся, хотя у него

.

Поэтому с помощью необходимого признака невозможно установить сходимость ряда. Чаще применяется обратное утверждение, равносильное доказанной теореме.

Следствие. Если не равен нулю, то ряд (10.1) расходится.

Пример3. Рассмотрим ряд

Найдем предел его членов.

Поскольку он не равен нулю, то записанный ряд расходится.

Дата добавления: 2014-01-06