Распределение непрерывных случайных величин

1. Закон равномерного распределения вероятностей.

Определение. Распределение называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, дифференциальная функция .

Найдем дифференциальную функцию нормального распределения, считая, что , где . Поэтому при . По свойству дифференциальной функции или или . Следовательно, .

2. Нормальное распределение.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией .

Здесь 2 параметра и . Их смысл: - математическое ожидание, -средне квадратическое отклонение нормального распределения.

а)

.

б) = /дважды по частям/ = средне квадратическое отклонение.

Замечание 1. Если , то нормальное распределение называется нормированным. Дифференциальная функция его , а интегральная функция .

2. Известен интеграл Лапласа , тогда для нормального распределения.

3. Учитывая свойство , получим , т.е. .

3. Нормальная кривая.

Определение. График функции нормального распределения называется нормальной кривой .

Исследуем функцию.

1) область определения: ;

2) при всех ;

3) , ось ОХ – горизонтальна ассиметрии;

4) исследуем на экстремум при ,

при возрастает, убывает, т.е. точка максимальная, .

5) так как , то график функции симметричен относительно .

6) точка перегиба

и - точка перегиба.

Форма нормальной кривой зависит от и .

Известно, что кривые и имеют одинаковую форму и 2-я из них получена из 1-й путем сдвига вправо на единиц. Следовательно, если изменится , то форма нормальной кривой не изменится, а лишь сдвигается вдоль оси ОХ: , если возрастает и , если убывает. Пусть теперь меняется .

С возрастанием максимальная ордината нормальная кривая убывает, а сама кривая становится пологой, при убывании нормальная кривая становится «островершиной».

При и нормированная кривая.

4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Известна формула , для нормального распределения имеем ,

преобразуем эту формулу так, чтобы пользоваться готовыми таблицами ,

.

Дата добавления: 2014-01-06