Производная высших порядков

Определение. Частной производной –го порядка функции называется частная производная от одной из ее производных порядка.

Это рекуррентное определение дает возможность получить –ую частную производную функцию путем нахождения последовательно частных производных от этой функция. Сама функция считается производной нулевого порядка.

Как мы установили ранее, производных первого порядка у функции две и . Взяв от этих производных производные по и , получим четыре производных второго порядка:

, , , .

Взяв от этих производных производные по и , получим восемь частных производных третьего порядка и так далее. Производных –го порядка у функции двух переменных имеется .

Пример. Найдем все частные производные первого и второго порядков у функции

.

, , ,

, , .

В этом примере и это не случайно.

Определение. Частная производная функции, в которой присутствуют дифференцирования по разным переменным, называется смешанной производной.

Смешанными производными второго порядка у функции двух переменных являются и .

Теорема о смешанных производных.

Пусть функция и ее производные , , , непрерывны в некоторой окрестности точки . Тогда в этой точке ее смешанные производные второго порядка равны между собой:

.

Следствие. Пусть все частные производные функции

до –го порядка включительно и все ее смешанные производные –го порядка непрерывны в некоторой окрестности т. . Тогда в этой точке ее смешанные производные –го порядка отличающиеся только очередностью дифференцирования совпадают.

Без доказательства.

Это следствие обосновывает следующее обозначение смешанной производной –го порядка, в которой встречается дифференцирований по и по :

.

При выполнении условий следствия, порядок в котором производятся эти дифференцирования, не влияет на результат.

Пример. Пусть . Найдем .

.

При любом другом порядке дифференцирования, в котором будут по два дифференцирования по и по результат получится тем же.

Определение. Функция , имеющая все непрерывные частные производные до –го порядка включительно в окрестности точки , называется раз дифференцируемой в этой точке.

Дата добавления: 2014-01-06