Способ замены плоскостей проекций

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Какие могут быть взаимные положения прямой и плоскости; двух плоскостей?

2. Как построить прямую, параллельную плоскости?

3. Как проверить, параллельна ли прямая данной плоскости?

4. Как провести через данную прямую плоскость, параллельную данной плоскости?

5. Как построить линию пересечения двух плоскостей?

6. Каким свойством обладают проекции перпендикуляра к плоскости?

7. Как построить плоскость, перпендикулярную к данной прямой?

8. Как построить точку, симметричную данной точке относительно заданной плоскости?

9. Сформулируйте условие перпендикулярности двух плоскостей.

10. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с горизонтальной плоскостью уровня?

11. Какая прямая является линией пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

12. По какой линии пересекаются две фронтально проецирующие плоскости?

13.Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей общего положения?

14. Перечислите этапы построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения.

Решить задачи 3.5 – 3.6; 4.1 – 4.3; 5.1 -5.4; 6.1 – 6.4.

Наиболее простое и точное решение задач удается получить, если заданные геометрические фигуры приведены в определенное частное положение относительно плоскостей проекций. Это достигается следующими способами:

1. оставляя проецируемый объект (фигуру) в заданном положении, изменяют положение плоскостей проекций относительно объекта (способ замены плоскостей проекций);

2. оставляя плоскости проекций в заданном положении, изменяют положение проецируемого объекта (фигуры) относительно этих плоскостей (способ вращения);

3. наряду с прямоугольными проекциями на том же чертеже строят дополнительные проекции, полученные косоугольным параллельным проецированием (способ дополнительного косоугольного проецирования).

Сущность способа замены плоскостей проекций состоит в том, что заданную систему плоскостей проекций заменяют новой системой так, что геометрические фигуры оказываются в частном положении относительно новой системы плоскостей проекций.

Рис. 5.1

Проследим, как изменятся проекции точки B, если плоскость V заменить на новую плоскость проекций V₁ (рис. 5.1, а). Плоскость V₁ проводим перпендикулярно плоскости Н, положение которой остается без изменения. Плоскости Н и V₁ пересекутся по прямой 0х₁, определяющей новую ось проекций. В новой системе плоскостей проекций вместо проекций b и b' получим новые проекции b и b₁′. Легко убедиться, что расстояние от новой проекции точки b₁′ до новой оси 0х₁ (координата Z) равно расстоянию от заменяемой проекции b' до заменяемой оси 0х. Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпюру, нужно совместить плоскость V₁ с плоскостью Н. На эпюре (рис. 5.1, 6) для построения новой проекции b₁′ используем неизменность координаты Z точки B. Для этого достаточно из горизонтальной проекции b провести перпендикуляр к новой оси 0х₁ и от точки b_X1 отложить координату Z, определяемую расстоянием b'b_x (Z_B) в прежней системе.

Замена горизонтальной плоскости Н новой плоскостью Н₁ (рис. 5.1, в) производится аналогично, с той лишь разницей, что теперь не изменяется фронтальная проекция точки b', для построения новой горизонтальной проекции b₁ необходимо из сохраняемой фронтальной проекции b' провести линию связи к новой оси 0х₁ и отложить от новой оси расстояние, равное расстоянию от заменяемой проекции b до заменяемой оси 0х.

Замена плоскостей проекций может осуществляться только последовательно, нельзя менять обе плоскости сразу.

Рассмотрим на примерах, как производится замена плоскостей проекций и строятся новые проекции фигур.

Задача 1. Определить длину отрезка прямой АВ общего положения.

Заменяем плоскость V плоскостью V₁, параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, а). Проводим новую ось Х₁ параллельно ab и на перпендикулярах, проведенных к ней из точек а и b, откладываем а_X1а₁′ = а_xа' и b_X1b₁′ = b_xb'. Получаем новую проекцию a₁′b₁′ = AB и одновременно угол α наклона прямой к плоскости Н.

Если плоскость Н заменим плоскостью H₁ параллельной отрезку АВ (рис. 5.2, б), то получим а₁b₁ = АВ и угол β наклона прямой к плоскости V.

Рис. 5.2

Задача 2. Определить натуральную величину и форму треугольника ABC.

Задача решается последовательной заменой двух плоскостей проекций.

Сначала плоскость V заменяем плоскостью V₁, перпендикулярной к плоскости треугольника (рис. 5.3). Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь AD (ad, a'd') и новую ось Х₁ располагаем перпендикулярно к ad. На новой плоскости проекций треугольник спроецируется в прямую b₁′а₁′с₁. На втором этапе плоскость Н заменяем плоскостью Н₁, параллельной плоскости треугольника, располагая ось Х₂ параллельно прямой b₁′а₁′с₁′. Построенная проекция a₁b₁с₁ определяет натуральную величину и форму треугольника ABC.

Рис. 5.3

Задача 3. Определить расстояние от точки А (а, а') до плоскости Р, заданной следами P_H и P_V (рис. 5.4).

Задача решается путем замены одной из плоскостей проекций новой, относительно которой плоскость Р будет проецирующей.

Заменим, например, плоскость V плоскостью V₁, перпендикулярной к плоскости Р. Новую ось X₁ проводим перпендикулярно к следу Р_Н. Выбираем на следе P_V произвольную точку N (п, п') и находим ее новую проекцию п₁′, откладывая n_X1n₁′ = n_xn' = y_N.. Через точки P_X1 и п₁′ проводим новый след P_V1. Построив новую проекцию a₁′ и опустив из нее перпендикуляр на P_V1, определяем расстояние от точки А до плоскости Р, которое равно отрезку a₁′k₁′. После этого определяем на первоначальном чертеже положение проекции основания перпендикуляра (k, k′).

Рис. 5.4

Задача 4. Определить кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми АВ (ab, a^′b′) и CD (cd, c'd') (рис. 5.5).

Рис. 5.5

Отрезок перпендикуляра к обеим прямым, измеряющий кратчайшее расстояние между ними, проецируется в натуральную величину на плоскость проекций, перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых.

Для решения задачи следует произвести две последовательные замены плоскостей проекций. В результате первой замены одна из прямых должна оказаться параллельной новой плоскости проекций, а после второй замены эта прямая должна стать перпендикулярной следующей вводимой плоскости проекций.

На рис. 5.5 заменим, например, плоскость V плоскостью V₁, параллельной прямой АВ. Новую ось Х₁ проводим параллельно ab и строим новые проекции a₁^′b₁′ и c₁'d₁'. Затем плоскость Н заменяем плоскостью Н₁, перпендикулярной к прямой АВ, располагая новую ось Х₂ перпендикулярно a₁′b₁′. При этом прямая АВ спроецируется на плоскость Н₁ в точку a₁≡b₁.

Отрезок MN располагается параллельно плоскости Н₁ и определяет искомое расстояние.

При помощи линий проекционной связи, проводимых в обратном направлении, находим проекции тп и т'п′ этого отрезка на исходных плоскостях проекций Н и V.

Задача 5. Определить величину двугранного угла при ребре АВ (рис. 5.6).

Двугранный угол измеряется линейным углом, образованным линиями пересечения его граней плоскостью, которая перпендикулярна к ним. Он проецируется в натуральную величину на плоскость, перпендикулярную к его ребру.

Для решения задачи:

1. Заменим плоскость V плоскостью V₁ таким образом, чтобы общее ребро АВ превратилось в прямую уровня.

2. Заменим плоскость Н плоскостью Н₁ так, чтобы общее ребро АВ заняло проецирующее положение.

3. Получаем линейный угол φ₁, определяющий величину заданного двугранного угла.

4. Находим проекции φ и φ′ этого угла на исходных плоскостях Н и V при помощи линий проекционной связи, проводимых в обратном направлении.

Рис. 5.6

Дата добавления: 2014-01-07