Уравнение Бернулли

Основной задачей гидродинамики является изучение законов движения жидкости. Движение жидкости характеризуется скоростями движения частиц и давлением в отдельных точках потока.

Чтобы установить взаимосвязь между основными параметрами движения, а именно между гидродинамическим давлением и скоростью движущейся жидкости, составим уравнения движения жидкости. Эти уравнения могут быть получены из дифференциальных уравнений равновесия жидкости, если к действующим силам согласно принципу д’Аламбера присоединить силы инерции. Получим систему уравнений:

(1.29)

Преобразуем полученные уравнения, применительно к элементарной струйке идеальной жидкости, находящейся в установившемся движении, умножив каждое уравнение соответственно на , . После по членного суммирования получаем

(1.30)

Так как , , - это проекции элементарного пути, проходимого частицами жидкости за время dt, следовательно:

(1.31)

С учетом (3) уравнение (2) примет вид:

(1.32)

- полный дифференциал силовой функции, выражающей массовые силы, под действием которых осуществляется движение жидкости.

- полный дифференциал давления, так как при установившемся движении гидродинамическое давление не зависит от времени.

- полный дифференциал скорости, выраженной через ее составляющие по соответствующим осям координат.

С учетом вышесказанного уравнение (1.32) примет вид:

(1.33)

Или окончательно

(1.34)

В частном случае, когда из всех массовых сил на движущуюся жидкость действуют только силы тяжести, силовая функция будет равна

(1.35)

Подставив значение силовой функции в уравнение (6) и проинтегрировав, получим уравнение для рассматриваемого сечения:

(1.36)

Так как сумма трех членов в уравнении (8) постоянна для любого сечения струйки, то для двух сечений 1 - 1 и 2 - 2 (рис. 1.15) можно записать

(1.37)

Рис. 1.15

Разделив левую и правую часть уравнения (1.37) на g, окончательно получим:

(1.38)

Уравнение (10) устанавливает связь между скоростью движения, давлением и геометрическим положением частиц жидкости для двух сечений струйки и является уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

Дата добавления: 2014-01-07