Вращение твердого тела относительно неподвижной оси

Элементы динамики вращательного движения твердого тела

Рис. 4.1

Пусть твердое тело вращается вокруг некоторой оси, неподвижной относительно выбранной системы отсчета. Положение и ориентация оси остаются при вращении тела неизменными. Направим вдоль оси вращения положительное направление оси ОZ системы отсчета (рис. 4.1). В этом случае все точки твердого тела вращаются по окружностям, центры которых лежат на оси ОZ. Движение твердого тела, как системы материальных точек, описывается проекцией уравнения моментов (3.53) на ось ОZ

(4.1)

где согласно (3.54) и (3.59)

(4.2)

Так как все точки тела при его вращении имеют одинаковые угловые скорости , то, используя (1.31): , выражение (4.2) можно записать в виде

(4.3)

Введем некоторые определения:

- для твердого тела сумму моментов внешних сил назовем результирующим моментом сил;

- сумму

(4.4)

назовем моментом инерции твердого тела относительно данной оси. Отметим, что, по определению, - момент инерции твердого тела относительно данной оси является аддитивной величиной и не зависит от времени t. С учетом введенных определений уравнение (4.1) примет вид

(4.5)

Уравнение (4.5) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение (4.5) можно записать в другой форме, если учесть, что :

(4.6)

В частности, если проекция результирующего момента внешних сил на неподвижную ось равна нулю, то есть , то

=> ,

вращение вокруг этой оси является равномерным.

Отметим, наконец, что основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, записанное в виде

, (4.7)

является аналогом второго закона Ньютона для прямолинейно движущейся материальной точки (сила имеет неизменное направление).

Выводы: Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси описывается основным уравнением динамики (4.5). Характер вращения определяется результирующим моментом сил относительно оси вращения, действующих на тело, и моментом инерции этого тела относительно той же оси.

Контрольные вопросы.

4.1. Можно ли основное уравнение динамики вращательного движения (4.6) или (4.7) записать в векторном виде? Если нет, то почему? Если да, то какой смысл будут иметь величины и в этом уравнении?

Дата добавления: 2014-01-07