![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Момент инерции
В этом пункте обсудим физический смысл и некоторые свойства введенной в предыдущем пункте 4.1 величины Уже в самом названии величины Здесь следует отметить, что некоторые студенты ошибочно считают момент инерции мерой инертности тела при вращательном движении твердого тела относительно данной оси. В действительности же, момент инерции тела относительно данной оси существует независимо от того, вращается ли данное тело или нет. При вращательном движении твердого тела мы наблюдаем одно из частных, конкретных проявлений этого свойства инертности, так же как, например, масса тела, существуя независимо от характера движения тела, играет роль инертности тела при его поступательном движении.
В тех случаях, когда дискретностью вещества можно пренебречь, считают, что в объеме твердого тела вещество распределено непрерывно. Это позволяет при вычислении момента инерции тела использовать интегральное исчисление. Твердое тело “разбивают” на элементарно малые (рис. 4.2) участки объемом dV, такие, что их можно считать материальными точками. Распределение вещества внутри объема тела можно характеризовать величиной
которая называется плотностью в малой окрестности dV данной точки тела. Выразив элементарную массу dm с помощью (4.8)
где суммирование по всем материальным точкам заменено интегрированием по объему твердого тела. В соотношении (4.9) величина
Из соотношений (4.4), (4.9) и (4.10) видно, что величина момента инерции тела относительно данной оси существенным образом зависит не столько от общей массы тела, сколько от того, как эта масса распределена относительно данной оси. Во многих случаях вычисление момента инерции тела относительно произвольной оси еще более упрощается, если использовать теорему Штейнера: Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела J0 относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно данной, и произведения массы тела m на квадрат расстояния
Докажем справедливость этого утверждения.
На рис. 4.3 произвольная ось, проходящая через точку А, и ось, проходящая через центр инерции 0, перпендикулярны к плоскости чертежа. Легко видеть, что радиус-вектор Вычислим квадрат модуля этого вектора, входящий в подынтегральное выражение в (4.9):
Подставим это соотношение в (4.9) и представим интеграл в виде суммы трех интегралов:
Постоянные величины вынесены за знак интеграла. В последнем соотношении интеграл в скобках
В данном случае В соответствии с (4.9) первый интеграл определяет момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр инерции, то есть
Окончательно для J имеем
Теорема Штейнера доказана. Выводы: Момент инерции тела относительно данной оси является количественной мерой инертности этого тела относительно этой оси. Величина момента инерции зависит как от массы тела, так и от характера распределения этой массы относительно оси.
Контрольные вопросы. 4.2. Как изменится угловое ускорение материальной точки, вращающейся по окружности под действием постоянной по величине касательной силы, если, не меняя эту силу, увеличить радиус окружности? Какой фактор оказывает большее влияние на результат: увеличение момента касательной силы или увеличение момента инерции материальной точки?
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1151; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |