Непрерывность функции

Определение. Пусть функция определена на промежутке ,. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Пример.

Доказать непрерывность функции в точке .

таким образом данная функция непрерывна в точке .

Замечание. Если (), то функция называется непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

Рассмотрим другое определение непрерывности функции в точке. В равенстве перенесем в левую часть и внесем под знак предела. Так как при , то получим

Разность называется приращением аргумента в точке , и обозначается Разность называется приращением функции в точке . Таким образом ,

Тогда равенство примет вид .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при.

Теорема.

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и

также непрерывны в точке (при ).

Замечание.

Простейшим примером функции, непрерывной в любой точке числовой прямой, служит постоянная функция .

Другими примерами непрерывных функций служат

Дробно-рациональная функция непрерывна во всех точках, в которых ее знаменатель отличен от 0.

Вообще, любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Дата добавления: 2014-01-07