Критерии устойчивости Гурвица и Найквиста

Пусть после нанесения ступенчатого возмущающего воздействия F АСР придет в устойчивое состояние:

В рассматриваемом случае уравнение поведения величины у может быть представлено в общем виде так:

Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение:

Согласно критерию Гурвица для устойчивости системы необходимо и достаточно, что бы все вещественные корни последнего уравнения были отрицательными. То есть в соответствии с графиком расположения корней характеристического уравнения, корни должны быть ”левыми”:

 

Условие гарантирующее нахождение одной пары корней характеристического уравнения на мнимой оси:

(*)

 

Это условие означает, что зная только передаточные функции регулятора и объекта регулирования , можно выявить условия нахождения замкнутой АСР на границе устойчивости. Графически это означает, что график АФХ проходит через точку (-1, i0):

 

Поэтому условие с (*) можно записать по другому:

(**)

где

Напомним, что такое замкнутая и разомкнутая АСР:

 

Критерий устойчивости Найквиста:

АСР устойчивая в разомкнутом состоянии сохранит устойчивость и после замыкания, если ее АФХ в разомкнутом состоянии не охватывает точки с координатами (-1, i0). Например:

 

Если АФХ разомкнутой АСР проходит через точку (-1, i0), то АСР в замкнутом состоянии находится на границе устойчивости. Причем, частота возникающих в АСР незатухающих колебаний будет равна частоте w_p=w_КР, при которой АФХ проходит через эту точку.

Настройки регулятора соответствующие нахождению АСР на границе устойчивости могут служить основанием для расчета оптимальных настроек регулятора, например по формулам Циглера- Никольса для ПИ-регулятора:

где критическую частоту и критический коэфф. усиления регулятора находят из условия (**):

это система из двух уравнений, которая решается относительно неизвестных и .

Дата добавления: 2014-01-07