Формула полной вероятности

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Следствия теорем сложения и умножения

Решение.

р(А) = 1 - (1 - р)ⁿ = 1 - gⁿ

г) Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого.

Условной вероятностью р(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

Пример. В ящике 10 деталей, из них 8 стандартных и 2 нестандартных. Найти вероятность извлечения стандартной детали (событие В) во втором случае, если в первом (событие А) была извлечена нестандартная деталь.

Решение:

Р_А(В)=8/9.

д) Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые и их вероятности известны.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

р(АВ) = р(А)р_А(В) (2.7)

Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий

Р(А_1, А₂,...,А_n).= р(A₁)p_Al(A₂)p_AlA2(A₃)….р_{А1А2…Аn-1}(А_n) (2.8)

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном испытании.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

р(А+В) = р(А) + р(В) – р(АВ) (2.9)

Пример. Система состоит из двух последовательно соединенных элементов с вероятностями отказа q₁ и q₂ соответственно. Система откажет тогда, когда откажет первый или второй элемент или оба элемента.

Вероятность отказа такой системы

g=g₁+g₂ - g₁g₂ (2.10)

Из теоремы умножения вероятностей (для независимых событий) вероятность безотказной работы такой системы р = р₁р₂, где р₁, р₂ - вероятности безотказной работы элементов. Тогда, используя формулу (2.4) получим g=1-p=1-p₁p₂=1-(1-g₁)*(1-g₂)=g₁+g₂-g₁g₂, т.е. то же выражение, что и (2.10).

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии проявления одного из несовместных событий В₁, В₂,...,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)=р(В₁)Р_В1(А)+р(В₂)Р_В2(А)+…+р(В_n)Р_Вn(А). (2.11)

Пример 1. В имеющихся двух наборах деталей вероятность соответствия их ТУ равна 0,9 и 0,95 соответственно. Определить вероятность того, что взятая наугад (из наудачу взятого набора) деталь будет соответствовать ТУ.

Решение. Деталь может быть взята из первого (событие В₁) или из второго набора (событие В₂) р(В₁)=0,5, р(В₂)=0,5. Условная вероятность того, что из первого набора извлечена стандартная деталь р_В1 (А)=0,9, а если из второго, то р_В1(А)=0,95.

Искомая вероятность:

р(А) = р(В₁)р_В1(А) + р(В₂)р_в2(А) = 0,5*0,9 + 0,5*0,95=0,925.

Пример 2. Система имеет (n — 1) — кратное резервирование (рис. 2.2). Вероятности безотказной работы элементов р₁, р_2, …,р_n. Подключение к работе осуществляется переключателем П с вероятностью р_n. В исходном состоянии работает первый агрегат, остальные в режиме ожидания. Отказ переключателя в исходном состоянии не влияет на работу первого агрегата (при этом не происходит подключение второго агрегата, если откажет первый).

Определить вероятность безотказной работы такой системы.

Решение. Используя формулу полной вероятности, запишем:

Рс = p₁*1 + p₂g₁p_n + p₃g₁g₂p_n + p_ng₁g₂…g_n-1p_n^n-1

Если р₁=р₂=…=р_n=р; g₁=g₂=…=g_n=g, то

P_c=p+pgp_n+pg²p_n²+…+p_ng^n-1p_n^n-1, или кратко р_с=р(gp_n)^k. (2.12)

При идеальном переключателе (р_n=1.0)

р_с=рg^k = р(1- p)^k. (2.13)

Если система имеет два агрегата с идеальным переключателем, то вероятность безотказной работы такой системы р_с = p(l+q) = (l-q)(1+q) = 1-q², что соответствует теореме о вероятности появления хотя бы одного события, т. е. система работает, если исправным остается один агрегат.

При n=3: p_c=p(1+g+g²)=(1-g)(1+g+g²)=1- g³

Дата добавления: 2014-01-07