Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени.

Примеры:

а) последовательность поступления вызовов на АТС;

б) последовательность отказов сложной системы.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

Свойство стационарности определяется тем, что вероятность появления k событий на любых непересекающихся промежутках времени ∆t зависит только от числа к и длительности ∆t. Например, вероятности появлений событий на промежутке времени ∆t одинаковы, т. е.

g_k(∆t)=f(k, ∆t) (2.14)

Свойство отсутствия последействия определяется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Свойство ординарности определяется тем, что за малый промежуток времени появление двух и более событий практически невозможно.

Поток событий, обладающий указанными свойствами, называется простейшим (пуассоновским).

Поток характеризуется интенсивностью.

Интенсивностью потока λ называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

При известной постоянной интенсивности потока вероятность появления к событий за время ∆t определяется формулой Пуассона

Р_к(∆t)= (2.15)

Эта формула отражает все свойства простейшего потока:

- стационарность, т. к. вероятность появления к событий зависит только от к и длительности ∆t;

- «отсутствие последействия» - не используется информация о событиях до начала рассматриваемого промежутка времени ∆t;

- ординарность.

Чтобы убедиться в отражении свойства ординарности, положим k=0 и k=1. Найдем вероятности непоявления событий и появления одного события:

р_к=0(∆t)=е^-λ∆t, р_к=1(∆t)=λ∆t е^-λ∆t.

Поскольку сумма вероятностей непоявления событий и появления различного количества событий равна единице, то вероятность появления более одного (два и более) события может быть выражена так:

р_к>1(∆t)=1-[р_к=0(∆t)+ р_к=1(∆t)].

Разложив е^-λ∆t в ряд

е^-λ∆t=1-λ∆t+…

и взяв три члена ряда разложения, получим

р_к>1(∆t)=1-1+ λ∆t - ==(λ∆t)=0 (λ∆t)

lim=0

При уменьшении ∆t величина (λ∆t)² уменьшается быстрее, чем ∆t. Таким образом, при малых ∆t производная р_к>1(∆t) пренебрежительно мала, что и подтверждает свойство ординарности.

Формула (2.15) может быть использована при определении появления к отказов за время ∆t при условии, что отказы независимы.

Если принять k = 0, т. е. рассмотреть такое состояние, когда не наступит ни одного отказа, то получим выражение для вероятности безотказной работы за время ∆t:

р(∆t)=.

Дата добавления: 2014-01-07