Расчет оптимальной настройки ПД и ПИ-регуляторов по критерию Kкр

Рассмотрим вначале настройку ПД-регулятора применительно к АСР с объектом, имеющим передаточную функцию вида

(2.124)

при возмущении системы по заданию.

Выражение для кривой Д-разбиения по общему коэффициенту усиления системы будет иметь вид (2.106), графическая интерпретация которого дана на рис. 2.29 а.

Из подобия треугольников ОАВ и Оав получаем:

(2.125)

Отсюда оптимальное значение времени предварения, обеспечивающее в АСР максимум критического коэффициента усиления, определяется выражением:

(2.126)

Коэффициент усиления регулятора Kp просто определить из следующих соображений.

Общий коэффициент усиления системы равен:

Kc=KобKp, (2.127)

а критический:

Задаваясь запасом устойчивости системы по модулю C и исходя из соотношения (2.40) находим

(2.128)

Считая, что Kоб=const выражение (2.128) удобно записать в виде:

Kp=dKкр, (2.129)

где

(2.130)

Важным этапом в расчете оптимальных значений параметров настройки регуляторов является определение оптимальной частоты опт, которая для системы в целом будет являться критической частотой при условии настройки АСР по критерию . Эта частота соответствует частоте, при которой имеем максимум действительной части АФХ числителя выражения (2.106) - обратной АФХ объекта с Kоб=1.

Перейдем теперь к рассмотрению настройки ПИ-регулятора. Согласно предыдущему разделу 2.3 для астатических регуляторов оптимальными являются настройки, обеспечивающие получение максимума отношения Kp/Tиз. С другой стороны для отыскания максимума этого отношения надо перейти к рассмотрению преобразованной системы, т.е. к рассмотрению настроек астатических регуляторов, путем их сведения к статическим (см. п.2.4.2).

После преобразования выражение кривой Д-разбиения по имеет вид (2.120), а его графическая интерпретация, соответствующая случаю астатического объекта, отличается от рис. 2.29а тем, что кривая, интерпретирующая выражение для числителя -
[-D(jω)jωe^τjω], а также кривая для будут идти из начала координат.

Оптимальное значение времени изодрома, обеспечивающее максимум отношения Kp/Tиз, будет определяться по формуле (2.126), но для преобразованного объекта (2.118) с передаточной функцией W’об(p) (см.рис. 2.31а), а значение коэффициента передачи изодромного регулятора по формуле (2.129), но при

2.3.5. Критерий K_кр и расширенные АФХ (введение критерия K_c)

Выше был обоснован критерий K_кр, но при этом умалчивалось, что согласно ему, система должна быть выведена на границу области устойчивости, что, естественно, не допустимо. Фактически, настраивая АСР по критерию K_кр, мы имеем возможность выбрать коэффициент усиления системы из максимально возможного диапазона его значений, ограниченного максимальным критическим коэффициентом усиления, причем для создания работоспособной АСР он будет меньше этого максимально возможного значения.

При этом, т.е. при введении дополнительных ограничений на систему, показатели качества АСР могут оказаться не самими лучшими при настройке регулятора по критерию K_кр. Например, введя дополнительные ограничения на требуемые запасы устойчивости системы по модулю и фазе, т.е.

и (2.101)

лучших показателей можно добиться при не выполнении критерия K_кр.

С другой стороны, для ряда объектов, настроив систему по K_кр, можно вообще не обеспечить желаемых запасов (2.101), что приведет к неудовлетворительному качеству регулирования. Для таких объектов лучших показателей качества можно достичь, если настроить систему на максимально возможный коэффициент усиления системы при требуемых ограничениях, хотя критический коэффициент усиления системы оказывается в этом случае меньше максимального. Такой подход назовем расчетом АСР по критерию K_c.

Для примера рассмотрим расположение параметров ПИ регулятора при настройке АСР по критериям K_кр и K_c на линиях равной степени затухания при =0, =0.75(m=0.221) и =0.9(m=0.366). Расчетные данные по системе заимствованы нами из [15] для объекта первого порядка с запаздыванием

при =20 с и T₁=100 с и представлены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. Расчетные данные для АСР с ПИ-регулятором и объектом с при τ=20 с, T₁=100 с

Ψ=0	Ψ=0.75	Ψ=0.9
ω, c^-1	Kp	Kp/Tиз, c^-1	ω, c^-1	Kp	Kp/Tиз, c^-1	ω, c^-1	Kp	Kp/Tиз, c^-1
0.020	0.14	0.045	0.015	0.154	0.024	0.010	0.09	0.014
0.030	0.87	0.091	0.020	0.66	0.040	0.015	0.52	0.024
0.040	2.17	0.140	0.030	1.76	0.073	0.020	1.07	0.038
0.050	3.67	0.177	0.040	2.87	0.101	0.030	2.14	0.066
0.060	5.23	0.186	0.050	3.88	0.110	0.040	3.05	0.083
0.070	6.73	0.152	0.060	4.70	0.090	0.050	3.74	0.079
0.080	8.03	0.061	0.070	5.24	0.035	0.060	4.13	0.046
0.085	8.56	0.009	0.075	5.38	-0.007	0.070	4.21	-0.017

Результаты представлены также в виде линии границы устойчивости (=0) и линий заданного запаса устойчивости (=0.75 и =0.9) в плоскости параметров настройки K_p и K_p /T_из ПИ-регулятора на рис. 2.26.

Соответствующие линии для =0.75 и =0.9 построены исходя из понятия расширенных АФХ [15], а линия для =0 является кривой Д-разбиения в плоскости двух параметров регулятора. В этих координатах настройке АСР по критерию K_кр, как будет показано ниже, соответствуют настройки лежащие на линии T_из=const, проходящей через максимум значения K_p /T_из на линии =0, (точка 1 на рис. 2.26). При =0.75 и =0.9 соответственно получим параметры настройки ПИ-регулятора, отвечающие точкам 2 и 3. В тоже время критерию K_c для =0.75 будут соответствовать параметры ПИ-регулятора, отвечающие точке 4 с максимумом отношения K_p /T_из при =0.75, а для =0.9 - точке 5 с максимумом K_p /T_из при =0.9.

Рис. 2.26. Расположение параметров настройки ПИ-регулятора при настройке АСР по критериям К_кр и К_с

Вид переходных процессов в АСР для настроек, отвечающих соответствующим точкам, приведен на рис. 2.27. Как видно, процессы, отвечающие точкам 2,3 не являются лучшими в сравнении, соответственно, с процессами, отвечающими точкам 4,5 (последние практически совпадают).

Допустив в соответствии с гипотезой об эквивалентной АСР второго порядка, что C и , а также степень затухания  однозначно связаны с коэффициентом колебательности системы m, также воспользуемся понятием расширенных АФХ для обеспечения в АСР требуемых ограничений в виде запасов по модулю и фазе, или заданной степени затухания.

Рис. 2.27. Вид переходных процессов в АСР при различных параметрах настройки регулятора

Напомним, что расширенную АФХ получают путем замены в передаточных функциях оператора p на -m+j=(j-m). Соответствующие АФХ будем обозначать как W(m,j).

Исходным выражением при расчете АСР на заданную степень затухания (заданные запасы по модулю и фазе) является уравнение АСР для расширенных АФХ, аналогичное характеристическому, используемому при расчете системы на устойчивость [15]:

(2.102)

или с учетом (2.51), (2.52)

, (2.103)

где K_c=K_обK_p - коэффициент усиления системы, а W¹_об(m,j) и W¹_p(m,j) - расширенные АФХ, соответственно, объекта и регулятора при единичных коэффициентах передачи K_об и K_p.

Наряду с кривыми Д-разбиения по коэффициенту усиления системы, выражение для которых, получаемое из характеристического уравнения системы, имеет вид

, (2.104)

где черта над обозначает, что кривая Д-разбиения является комплексной характеристикой, а W¹_об(m,j) и W¹_p(m,j) - соответственно, АФХ объекта и регулятора при единичных коэффициентах передачи K_об и K_p, введем понятие суженных кривых Д-разбиения, которые будем помечать дополнительной чертой над комплексным параметром .

При этом суженные кривые Д-разбиения (кривые Д-разбиения с заданной степенью затухания) по коэффициенту усиления системы получаем из (2.103):

(2.105)

Рассмотрим графическую интерпретацию выражений (2.104) и (2.105) для системы с ПД-регулятором и статическим объектом общего вида с запаздыванием, структура которой представлена на рис. 2.28.

Рис. 2.28. Структурная схема АСР с ПД-регулятором и объектом общего вида

Для данного случая выражения (2.104) и (2.105) запишем в виде:

(2.106)

(2.107)

На рис. 2.29 представлена графическая интерпретация как отдельно числителя (объекта) и знаменателя (регулятора) выражений (2.106) и (2.107), так и результирующие кривые Д-разбиения по (рис. 2.29а) и (рис. 2.29б). Кривые и на рис.2.29 показаны для случая оптимальной настройки регулятора, соответственно по критерию K_кр (рис. 2.29а) и K_c (рис. 2.29б). Доказательство справедливости этого утверждения дано в следующем параграфе.

Для возможности выявления отличий в расчетах по принятым критериям, кривые рис. 2.29б показаны пунктиром на рис. 2.29а.

В дальнейшем верхний индекс 1 будем опускать, помня, однако, что при рассмотрении и речь идет о

характеристиках объекта и регулятора при единичных коэффициентах передачи (усиления), т.е. об их нормированных характеристиках.

Для типовых промышленных регуляторов выполнение критерия будет соответствовать условиям аналогичным (2.100), обеспечивающим минимум ранее рассмотренных в п.п. 1-5 показателям, при наличии ограничений на Ψ или c и φ, т.е. для:

Рис. 2.29. Графическая интерпретация кривых Д-разбиения по (а) и (б)

(2.108)

(2.109)

Из суженных кривых Д-разбиения по эти условия определяются сразу. Так для ПД-регулятора (рис. 2.27б) максимальное значение коэффициента передачи регулятора при ограничениях (2.109) определяется из выражения

(2.110)

Из обычных кривых Д-разбиения по , где выделяется возможный диапазон изменения коэффициента усиления системы в виде отрезка действительной оси от начала координат, до ее пересечения с кривой , для нахождения K_p необходимо ввести, например, запас устойчивости по модулю, тогда (см. (2.40))

(2.111)

Для АСР с рядом объектов, как будет показано ниже, оптимальные настройки регуляторов, рассчитанные по критериям K_c и K_кр, могут совпадать. Это позволяет использовать для их расчета лишь критерий K_кр и, следовательно, исключить получение расширенных АФХ (суженных кривых Д-разбиения), что существенно позволит упростить расчет оптимальных настроек регуляторов.

Дата добавления: 2014-01-07