III. Примеры итерационных методов

II.Метод Гауса и его модификации для решения СЛУ. №22

I. Основные определения

Особенности применения прямых и интегральных методов для решения систем линейных уравнении с разряженными матрицами

Будем рассматривать (1), где А – матрица

(2) А={ - заданный вектор столбец b

(3) -

Развернутая каноническая запись ур.(1).

Матрица квадратная n*n

Матрица называется разряженной, если число ненулевых элементов много меньше n.

m<<n

Матрица А называется невырожденной, если она имеет обратную

А* А=Е, Е- единичная матрица

Для тех, что матрицы была не вырожденная. Необходимо и достаточно, чтобы det(А). Тогда

- имеет решение.

x=

Теорема Адамара

Если значения элементов матрицы недиагональных элементов i-строки, то такая матрица невырожденная

Ольга Таусски

Общее число операций порядка

;

1 Шаг.

Исключаем перемещением

Заменим на, получим

Модификация метода Гауса – это метод оптимального исключения.

Оптимальность в памяти.

Матрицу мы рассмотрим по строка. И работать со строками будем отдельно.

Разделим на

Вызываем 2-ую строку:

Исключаем первое неизвестное, получаем новое уравнение, которое тоже готовим к исключению.

В итоге:, вызываем 3-ю строку:

Исключаем неизвестное, потом с помощью 2х. В итоге

и т.д.

Получим в качестве последнего уравнения

В основе этих методов лежит принцип релаксации.

(3)

(4), F – новый вектор (5)

Мы должны подобрать которые удовлетворяли бы (1)

// // – норма.

Следствие теоремы: если норме матрицы, т.е., то процесс по формулам сходится.

Лемма (Неймона) Если собственные числа матрицы по модулю, то матричный ряд сходится и его сумма равна, т.е.

,,

…

; Для того, чтобы, необходимо:

, g - норма матрицы.

или

А) Метод простой итерации с выбором итерационного параметра.

Матрица,,,, тогда все соответствующие числа.

, cимметричная, определенно положительная матрица.

Будем считать, что.

Тогда соответствующие числа будут равны

.

,.

, выберем т.о., чтобы.

.

Тогда норма матрицы будет минимальной.

Б) Метод Якоби. Применяется только в том случае, когда матрица имеет строгое диагон. преоблад.

, где;

, где;

,

,

. – процесс сходится.

В) Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя).

/

Этот процесс сходится.

Если, тогда метод тоже сходится.

Построить матрицу для метода Гаусс Зейделя.

(Достаточноне строгого диагон. преобладания).

Г) Метод вариационного типа.

Г1) Градиентного спуска (используется

Г2) Метод минимальных невязок (используются минимальные значения)

Выбирается из min функционала I.

(симметрично положительно определенная)

Заключение!!!

Решаем систему, методом Гауса (прямой)

Вопросы к экзамену.

1. Схема вычислит. Эксперимента.

2. Основные принципы построения мат. Модели.

3. Сетки и сеточные функции. Нормы сеточных функций.

4. Сеточные операторы. Аппроксимация дифер. Опер. (дискетные).

5. Вычислительные свойства разностного оператора 2го порядка.

6. Разложение сложных функций в ряд Фурье.

7. Интерполирование табличных функций сплайнами.

8. М-д прогонки для решения СЛУ с трех-диагн. матрицами.

9. Оценки прогоночных коэффициентов в случ. Матриц с диагональным преобладанием.

10. ЧМ решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

11. Разностные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

12. Метод стрельбы для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

13. Разностные методы решения нач. краевых и краевых задач для уравнений в частн. производ.

1. Уравнение исперт. типа

2. Уравнение жилтич. типа

3. Уравнение паратомич. типа

14. Основные понятия теории систем и системного анализа

15. Способы задания топологич. структуры системы (графы)

16. Граф типа дерева и способы его нумерации его ребер и вершин

17. Понятие одномерного комплекса. Формулировка математических моделей на комплексах

18. Мат. модель для расчета параметров электрич. Сетей

19. Мат. модель для расчета параметров систем водоснабжения

20. Мат. модель для расчета систем газоснабжения (транспорты – газа)

21. Построение матрицы узловых давлений (напряжения)

22. Метод Гаусса и его модификации для решения СЛУ

23. Метод Жордана

24. Метод оптим. Исключения

25. Способ релаксации для построения итирац. методов решения СЛУ. Условия сходимости.

26. Метод простой итерации с выбором итерац. Параметров

27. Метод Якоби и его сходимость

28. Метод Гаусса Зейделя

29. Понятие о методах вариац. типа для выбора итерац. Параметров

Прогонка в случ. Систем с трехзначной матр.

Сплайн – кусочн. непрерывный интерполяционного многочлена

Метод Жордана.

1ое уравнение

2ое уравнение

Неизвестную x2 исключаем из предыдущих уравнений

3е уравнение

x3 исключаем из предыдущих уравнений

И так далее.

[АС1]2 массива

[АС2]Пространство С

[АС3]Пространство L₂

[АС4]Ряд Тейлора

[АС5]Аналогия интеграла

[АС6]Фиктивная переменная

[АС7]Дифференциальная задача

[АС8]Дискретная задача

[АС9]Вторая производная

[АС10]Заменяем на дискретный оператор

[АС11]Для любых точек скобка =0

[АС12]Диагональные слагаемые

[АС13]Недиагональные слагаемые

[АС14]I этап (прямая прогонка):

[АС15]II этап (обратная прогонка)

[АС16] - зависит от метода

[АС17]Метод дихотомии

[АС18]Граничные условия

[АС19]Символ «» – заглавная греческая гамма (Greek Capital Letter Gamma, Unicode 0393)

[АС20]нормаль

[ЛАС21]

[ЛАС22]По направлению Х

[ЛАС23]По направлению У

[АС24]Интерполяция с помощью полинома Ньютона

[АС25]Согласно разложению в ряд Тейлора

[АС26]Потребители, которые требуют напряжение

Дата добавления: 2014-01-07