Система массового обслуживания с ожиданием, основные характеристики функционирования

Рассмотрим аналитические модели СМО с ожиданием, т.е. требование, поступившее в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, становится в очередь и ожидает, когда освободится один из каналов.

Предположим также, что в систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью l., а время обслуживания одного требования в системе является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .

Математический аппарат, используемый для расчета основных характеристик СМО (формулы Эрланга) зависит от того, является ли СМО замкнутой или разомкнутой.

Расчет характеристик замкнутой СМО с ожиданием (в системе может быть не более m требований) [1, с.110-112].

1. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число не превышает числа обслуживающих аппаратов (каналов) n:

где:

· n – число каналов обслуживания;

· m – наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживаемой системе одновременно;

· λ – частота (интенсивность) поступления требований в систему от одного источника;

· – средняя продолжительность обслуживания одного требования;

· ;

· – вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.

2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число больше числа обслуживающих аппаратов:

где .

3. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны, определяется из условия . Следовательно,

.

4. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):

.

5. Коэффициент простоя требования в ожидании обслуживания:

.

6. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты заняты:

.

7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе (обслуживаемых и ожидающих обслуживания):

.

8. Коэффициент полного простоя требований на обслуживании и в ожидании обслуживания:

.

9. Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание:

.

10. Среднее число свободных обслуживающих аппаратов:

.

11. Коэффициент простоя обслуживающих аппаратов:

.

12. Вероятность того, что число требований, ожидающих обслуживания, больше некоторого числа B (вероятность того, что в очереди на обслуживание находится более B требований):

.

Расчет характеристик разомкнутой СМО с ожиданием (источник обладает бесконечным числом требований) [1, с.113-114].

1. Для нормального функционирования системы необходимо соблюдение требования (в противном случае очередь неограниченно растет), где:

· n – число каналов обслуживания;

· λ – частота (интенсивность) поступления требований в систему;

· – средняя продолжительность обслуживания одного требования одним аппаратом.

2. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число не превышает числа обслуживающих аппаратов:

где:

· ;

· – вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований при условии, что их число превышает число обслуживающих аппаратов:

где:

· ;

4. Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

.

5. Вероятность того, что обслуживающие аппараты заняты (вероятность отказа в немедленном обслуживании):

.

6. Средняя длина очереди:

.

7. Средняя продолжительность ожидания обслуживания (продолжительность простоя в очереди):

.

8. Среднее число свободных аппаратов:

.

9. Коэффициент простоя обслуживающего аппарата:

.

Дата добавления: 2014-01-07