Лекция 4. Электрический ток

Объёмная плотность энергии электростатического поля.

Рассмотрим плоский воздушный конденсатор. Энергия заряженного конденсатора

.

Объём пространства между пластинами конденсатора. Так как поле между пластинами рассматриваем как однородное, то единица объема этого поля обладает энергией. Эта величина называется объёмной плотностью энергии.

В случае, когда поле не является однородным, объёмная плотность энергии.

В веществе объёмная плотность энергии электрического поля.

В случае однородного изотропного диэлектрика, поэтому.

Т.к., то, где

- энергия электрического поля в вакууме, - энергия поляризации вещества.

Пример. Рассмотрим заряженную тонкостенную сферу радиуса R. Так как одноименные заряды на сфере отталкиваются, то силы отталкивания стремятся растянуть поверхность сферы. Можно считать, что изнутри сферы на стенки действует дополнительное давление, распирающее сферу и вызванное наличием электрического заряда на поверхности.

Напряженность поля внутри сферы равна нулю, поэтому объемная плотность энергии электрического поля w отлична от нуля только снаружи сферы.

При небольшом увеличении радиуса сферы на dR её объём увеличится, при этом в той части окружающего пространства, которая попала внутрь сферы, объёмная плотность энергии станет равной нулю. Следовательно, изменение энергии поля снаружи будет равно, где S – площадь поверхности. Но при расширении сферы силы давления внутри сферы совершат работу.

Так как, то, откуда

.§

Пример. Найдем силы, действующие на пластины в заряженном плоском конденсаторе, отключённом от источника.

Пластины заряжены разноименно, поэтому они притягиваются. Предположим, что пластины сблизились на малую величину x. Тогда объём конденсатора уменьшился на величину dV=xS, поэтому энергия конденсатора уменьшилась на dW=wdV. Силы притяжения совершат работу dA=Fx. Так как dA= dW, то Fx=wxS. Поэтому величина силы равна F=wS. Дополнительное давление, которое создают эти силы, равно.§

Приведённые примеры показывают, что на тела, находящиеся в электрическом поле, действуют силы, вызывающие дополнительное давление, равное объёмной плотности энергии.

Давление, вызванное наличием электрического поля равно объёмной плотности энергии.

Силы, действующие на тела со стороны какого-то поля, называются пондемоторными.

Носители тока в средах. Сила и плотность тока. Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы. Закон Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах. (Законы Кирхгофа) .

Электрический ток – это упорядоченное движение электрических зарядов, которые называются носителями тока (электроны, ионы, макроскопические заряженные частицы – капельки, пылинки и т.д.)

Характеристикой электрического тока является вектор плотности тока,

где q – заряд носителей, n - концентрация носителей, - вектор средней скорости упорядоченного движения. Единица измерения величины плотности тока А/м² (Ампер на метр квадратный)

Замечание. Если носители тока совершают хаотическое (тепловое) движение, то в этом случае, и электрический ток отсутствует.

Если электрический ток одновременно создают разные носители (например, отрицательные и положительные ионы в электролите), то плотность тока определяется следующим образом:

,

где индексы «+» и «-» соответствуют положительно и отрицательно заряженным носителям.

Замечание. Рассмотрим прямолинейное движение заряженных частиц под действием электрического поля, вектор напряженности которого параллелен траектории частиц. В этом случае положительные заряженные частицы будут двигаться в направлении вектора напряжённости, поэтому вектор плотности тока положительных носителей будет направлен так же как и вектор напряжённости.

Отрицательно заряженные частицы будут двигаться против направления вектора напряжённости, но так как, то вектор плотности тока отрицательных носителей тоже будет направлен, как и!

За направление электрического тока принимается направление движения положительно заряженных носителей.

Таким образом, если в некоторой области среды (или тела) задано векторное поле плотности электрического тока, то говорят, что в этой области среды (или тела) «течёт» электрический ток. Соответственно, говорят, что эта область среды (или тела) является проводником электрического тока или, что эта область среды (или тела) проводит электрический ток. Типичный проводник – металлы. В металлах носителями тока являются валентные электроны.

Если вектор плотности в любой точке тока не зависит от времени, то говорят, что ток постоянный.

Линия тока – линия, касательная к которой в каждой точке направлена так же как и вектор плотности тока.

<v>× dt

n

j

a

Силой тока, текущего в проводнике, называется величина отношение заряда d Q, переносимого через поперечное сечение проводника (с учетом направления) за промежуток времени dt, к величине этого промежутка времени:.

Докажем, что сила тока в проводнике равна величине потока вектора плотности тока через сечение проводника. Сечение проводника при этом является ориентированной поверхностью.

Рассмотрим цилиндрический проводник, в котором задано однородное векторное поле плотности тока. Найдём суммарный электрический заряд, прошедший за малый промежуток времени dt через сечение проводника, нормаль к которому образует угол a с вектором плотности тока. Все прошедшие через сечение заряды заполнят косой цилиндр, объём которого. Длина этого цилиндра, где - скорость упорядоченного движения носителей. Величина электрического заряда прошедшего через сечение проводника

, где q – заряд одного носителя, N – количество носителей в цилиндре. Если n – концентрация носителей, то, поэтому

.

Если ввести вектор, то можно записать.

Поэтому сила тока в проводнике.

Если векторное поле плотности тока неоднородное, а сечение не является плоским, то сечение разбивается на малые участки dS, в пределах каждого из которых поле можно считать однородным. Затем суммируются все потоки по этим участкам

.

Сила тока измеряется в Амперах (А): А=Кл/с.

Сила тока через поперечное сечение, в котором вектор плотности тока,, где S_^ - площадь поперечного сечения. Откуда.

Замечание. Иногда удобно силу тока считать алгебраической величиной, т.е. приписывать знак «+» или «-» в зависимости от какого-то направления. Если при подобном соглашении знак силы тока получается отрицательным, то это означает, что направление движения положительных зарядов в данном случае - противоположное.

Закон сохранения электрического заряда.

Рассмотрим поток вектора плотности тока через замкнутую поверхность, ориентированную наружу:

.

Если, то это означает, что положительные частицы выходят из объёма, охваченного этой поверхностью (или отрицательные входят в объём). Поэтому алгебраическая величина заряда (с учётом знака) уменьшается внутри объёма, охваченного поверхностью S:. Следовательно, должно быть справедливо равенство:, т.е.

Это соотношение называется законом сохранения электрического зарядав интегральной форме. Если ввести функцию объёмной плотности заряда, то, то получаем равенство.

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:.

Если поверхность S неподвижная, то можно написать равенство.

Тогда из равенства следует закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме:

или.

Следствие. Если внутри замкнутой поверхности величина заряда не изменяется, то это означает, что суммарный поток плотности тока через эту поверхность равен нулю:

.

Так как поток векторного поля, направленного наружу, положительный, а направленного внутрь - отрицательный, то можно записать:

,

т.е. сила втекающего тока равна силе вытекающего тока.

Дата добавления: 2014-01-06