Лекція 28

Функції на векторних (лінійних) просторах.

Означення 28.1 Функція одного векторного аргументу це: ‹ú(або ÷). (Якщо ‹ - дійсний векторний простір, то обирається множина ú, якщо ‹ - комплексний векторний простір, то обирається множина ÷).

Означення 28.2 Функція двох векторних аргументів називається: ‹‹ú(або ÷).^([1])

Зауваження 28.1 Функції на нескінченно вимірних векторних просторах прийнято називати функціоналами.

§ 1 Лінійні функції одного аргументу (лінійні форми).

Означення 28.3 Функція L одного векторного аргументу називається лінійною, якщо

1) ‹ L ()= L () + L () (властивість адитивності),

2) ‹, ú(або ÷). L ()= L () (властивість однорідності).

Іншими словами: лінійна функція одного аргументу це адитивна та однорідна скалярна функція векторного аргументу.

Зауваження 28.2 Лінійна функція це частинний випадок лінійного відображення. А саме - лінійне відображення даного векторного простору ‹ в одномірний арифметичний простір ú(або ÷).

Розглянемо n - вимірний векторний простір і виберемо в ньому базис . Тоді ‹_n , де - координати вектора в базисі , а L ()= L ()= L (). Позначимо L ()=, - матрицю-рядок з елементами , - матрицю-стовпчик координат вектора . Остаточно маємо

L ()= (28.1)

Зауваження 28.3 Числа = L () не залежать від вектора , а визначаються тільки функцією L і базисними векторами .

Ми довели наступне

Твердження 28.1 Будь-яка лінійна функція на ‹_n в довільному базисі задається лінійним однорідним многочленом (28.1) від координат вектора по цьому базису.

Значення функції L ()=називаються компонентами або коефіцієнтами функції L в базисі .

Розглянемо два базиси та в просторі ‹_n. Ці базиси пов’язані між собою співвідношеннями () (- елементи матриці переходу Т від базису до базису ). Тоді . Або

. (28.2)

§ 2 Білінійні форми.

Означення 28.4 Білінійною формою або білінійною функцією на векторному просторі ‹_n називається функція В від двох векторів на ‹_n, яка задовольняє вимогам

1) ‹_n ,

2) ‹_n, ú(або ÷) ,

3) ‹_n ,

4) ‹_n, ú(або ÷) .

Іншими словами: білінійна форма це скалярна функція двох векторних аргументів адитивна та однорідна по обом своїм аргументам.

Виберемо в просторі ‹_n базис . Якщо , , то значення білінійної форми В на векторах і може бути обчислено наступним чином . Позначимо - значення білінійної форми на всеможливих парах базисних векторів. Числа - називаються коефіцієнтами білінійної форми в базисі , а матриця - матрицю білінійної форми в даному базисі. Тоді остаточно

(28.3)

При заміні базису матриця білінійної форми змінюється. Отримаємо закон її зміни.

.

Або

і в матричному вигляді . (28.4)

Означення 28.5 Білінійна форма називається симетричною, якщо ‹_n .

Твердження 28.2 (Критерій симетрії білінійної форми). Для того щоб білінійна форма була симетрична необхідно і достатньо щоб вона в деякому базисі мала симетричну матрицю (тоді вона буде мати симетричну матрицю і в будь якому базисі).

Необхідність ◄ Нехай білінійна форма симетрична , тоді . Або ►

Достатність ◄ Нехай в деякому базисі матриця білінійної форми симетрична - . Тоді ‹_n . Так як білінійна форма симетрична, то вона буде мати симетричну матрицю і в будь якому базисі. ►

§ 3 Квадратичні форми.

Означення 28.6 Квадратичною формою називається функція на векторному просторі ‹_n (‹_n), значення якої ‹_n визначається рівністю , де В - симетрична білінійна форма на ‹_n.

Білінійну форму В, яка фігурує в означенні 28.6 будемо називати породжуючою квадратичну форму K.

По квадратичній формі K можна однозначно поновити ту білінійну форму, яка її породила. Дійсно, ‹_n . Звідки

(28.5)

Зауваження 28.4 При отримані співвідношення (28.5) ми суттєво використали вимогу симетрії білінійної форми.

Зауваження 28.5 Матриця симетричної білінійної форми В, яка фігурує в означенні 28.6, називається матрицею відповідної квадратичної форми K.

Згідно (28.3) значення квадратичної форми K записується через координати вектора в деякому базисі в наступний спосіб

(28.6)

Права частина (28.6) - однорідний многочлен другої степені відносно . Приведений його запис містить подібні члени. А саме, при члени (без сумування по i, j) і (без сумування по i, j) співпадають. Тому (28.6) можна переписати у вигляді

(28.7)

Зауваження 28.6 Саме для того, щоб по многочлену (28.7) можна було б поновити матрицю квадратичної форми і накладається в означені 28.6 умова симетрії білінійної форми, яка породжує квадратичну.

Означення 28.7 Квадратична форма називається діагональною, якщо її матриця має діагональний вид . Тоді сама квадратична форма містить тільки квадрати координат вектора :

. (28.8)

Теорема 28.1 Для кожної квадратичної форми існує базис в якому вона має діагональний вигляд.

Доведення проведемо індукцією по розмірності простору ‹_n.

◄1) При n=1 в будь якому базисі квадратична форма має діагональний вигляд.

2) Припустимо, що теорема має місце в просторі розмірності n-1.

3) Розглянемо квадратичну форму в просторі розмірності n

В довільному базисі . Можливо, що всі дорівнюють нулю, але в цьому випадку квадратична форма вже має діагональний вигляд. Тому, ми можемо обмежитись випадком, коли хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля. Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що . Дійсно, якщо , але при деякому , ми можемо поміняти нумерацію базисних векторів, тобто зробити заміну базису. Якщо , то у випадку необхідності змінюючи нумерацію базисних векторів, ми можемо вважати . Зробимо допоміжну заміну базису, таку щоб , , , . Такій заміні базису відповідає матриця переходу , а її обернена матриця має вигляд

.

Після такої заміни базису в квадратичну форму ввійдуть члени і . Таким чином, в разі потреби зробивши заміну базису, можна завжди вважати, що .

Зберемо разом члени, які містять :

Інакше це можна переписати у вигляді

Квадратична форма

задана в просторі розмірності n-1 і згідно припущенню індукції існує базис в просторі розмірності n-1 в якому квадратична форма має діагональний вигляд

Позначимо елементи оберненої матриці переходу до цього базису (в просторі розмірності (n-1)) через .

Покладемо

,

і отримаємо для квадратичної форми K діагональний вигляд. Перехід до нового базису здійснюється з допомогою матриці переходу T, а заміна координат векторів з допомогою матриці , де

(зірочками позначені елементи значення яких не важливе).►

Зауваження 28.7 Застосований при доведені теореми 28.1 спосіб приведення квадратичної форми до діагонального вигляду має назву метода виділення квадратів Лагранжа і може бути застосований для практичного приведення квадратичної форми до діагонального вигляду.

Означення 28.8 Діагональний вигляд квадратичної форми в дійсному векторному просторі називається канонічним виглядом, якщо коефіцієнти можуть приймати тільки значення +1, -1, 0. В комплексному векторному просторі діагональний вигляд квадратичної форми - канонічний, якщо може дорівнювати тільки 1 або 0.

Теорема 28.2 Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд.

◄ Для початку приведемо квадратичну форму до діагонального вигляду (теорема 28.1). Потім замінимо базис в такий спосіб, щоб: координати векторів, яким відповідають коефіцієнти квадратичної форми , залишались без змін (), а для інших координат (без сумування по і) в випадку комплексного векторного простору і (без сумування по і) в випадку дійсного векторного простору. ►

Ранг, індекс, визначеність квадратичних форм

Існує багато базисів, в яких квадратична форма має канонічний вигляд. Виявляється, що всі канонічні вигляди квадратичної форми (з точністю до нумерації координат вектора) однакові.

Теорема 28.3. Ранг матриці квадратичної форми не залежить від базису.

◄ Згідно (28.4) в базисі матриці квадратичних форм пов’язані співвідношенням де матриця переходу Т не вироджена. Звідси

⁽¹⁾ ►

Якщо квадратична форма має канонічний вигляд, то ранг її матриці просто дорівнює кількості коефіцієнтів відмінних від нуля. Це число не залежить від базису.

Означення 28.8. Рангом квадратичної форми називається ранг її матриці.

В комплексному векторному просторі всі квадратичні форми одного і того ж рангу приводяться (кожна в своєму базисі) до одного і того ж канонічного вигляду

Тепер розглянемо квадратичні форми в дійсному векторному просторі.

Означення 28.9. Квадратична форма є додатна на підпросторі ‹' ‹_n, якщо

‹^'

Зауваження 28.8. Окремо відмітимо, що будь-яка квадратична форма

Означення 28.10. Квадратична форма називається від’ємною визначеною на підпросторі ‹' ‹_n, якщо ‹^'

Зауваження 28.9. Якщо ‹' ‹_n, то про знакоозначені квадратичні форми просто говорять – додатньо означена, чи від’ємно означена, відповідно.

Означення 28.11. Квадратична форма називається додатньо напівозначеною, якщо

Означення 28.12. Квадратична форма називається від’ємно напівозначеною, якщо

Зауваження 28.10. Якщо то і, відповідно, то

Приклади 28.1. Нехай n=2. Тоді ,

а

Дата добавления: 2014-01-07