![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекція 28
Функції на векторних (лінійних) просторах. Означення 28.1 Функція одного векторного аргументу це: ‹ Означення 28.2 Функція двох векторних аргументів називається: ‹
Зауваження 28.1 Функції на нескінченно вимірних векторних просторах прийнято називати функціоналами.
§ 1 Лінійні функції одного аргументу (лінійні форми). Означення 28.3 Функція L одного векторного аргументу називається лінійною, якщо 1) 2) Іншими словами: лінійна функція одного аргументу це адитивна та однорідна скалярна функція векторного аргументу. Зауваження 28.2 Лінійна функція це частинний випадок лінійного відображення. А саме - лінійне відображення даного векторного простору ‹ в одномірний арифметичний простір ú(або ÷). Розглянемо n - вимірний векторний простір і виберемо в ньому базис L ( Зауваження 28.3 Числа Ми довели наступне Твердження 28.1 Будь-яка лінійна функція на ‹n в довільному базисі задається лінійним однорідним многочленом (28.1) від координат вектора по цьому базису. Значення функції L ( Розглянемо два базиси
§ 2 Білінійні форми. Означення 28.4 Білінійною формою або білінійною функцією на векторному просторі ‹n називається функція В від двох векторів на ‹n, яка задовольняє вимогам 1) 2) 3) 4) Іншими словами: білінійна форма це скалярна функція двох векторних аргументів адитивна та однорідна по обом своїм аргументам. Виберемо в просторі ‹n базис
При заміні базису матриця білінійної форми змінюється. Отримаємо закон її зміни.
Або
Означення 28.5 Білінійна форма називається симетричною, якщо Твердження 28.2 (Критерій симетрії білінійної форми). Для того щоб білінійна форма була симетрична необхідно і достатньо щоб вона в деякому базисі мала симетричну матрицю (тоді вона буде мати симетричну матрицю і в будь якому базисі). Необхідність ◄ Нехай білінійна форма симетрична Достатність ◄ Нехай в деякому базисі матриця білінійної форми симетрична -
§ 3 Квадратичні форми. Означення 28.6 Квадратичною формою називається функція Білінійну форму В, яка фігурує в означенні 28.6 будемо називати породжуючою квадратичну форму K. По квадратичній формі K можна однозначно поновити ту білінійну форму, яка її породила. Дійсно,
Зауваження 28.4 При отримані співвідношення (28.5) ми суттєво використали вимогу симетрії білінійної форми. Зауваження 28.5 Матриця симетричної білінійної форми В, яка фігурує в означенні 28.6, називається матрицею відповідної квадратичної форми K. Згідно (28.3) значення
Права частина (28.6) - однорідний многочлен другої степені відносно
Зауваження 28.6 Саме для того, щоб по многочлену (28.7) можна було б поновити матрицю квадратичної форми і накладається в означені 28.6 умова симетрії білінійної форми, яка породжує квадратичну. Означення 28.7 Квадратична форма називається діагональною, якщо її матриця має діагональний вид
Теорема 28.1 Для кожної квадратичної форми існує базис в якому вона має діагональний вигляд. Доведення проведемо індукцією по розмірності простору ‹n. ◄1) При n=1 в будь якому базисі квадратична форма має діагональний вигляд. 2) Припустимо, що теорема має місце в просторі розмірності n-1. 3) Розглянемо квадратичну форму в просторі розмірності n В довільному базисі
Після такої заміни базису в квадратичну форму Зберемо разом члени, які містять Інакше це можна переписати у вигляді Квадратична форма задана в просторі розмірності n-1 і згідно припущенню індукції існує базис в просторі розмірності n-1 в якому квадратична форма Позначимо елементи оберненої матриці переходу до цього базису (в просторі розмірності (n-1)) через Покладемо
і отримаємо для квадратичної форми K діагональний вигляд. Перехід до нового базису здійснюється з допомогою матриці переходу T, а заміна координат векторів з допомогою матриці (зірочками позначені елементи значення яких не важливе).► Зауваження 28.7 Застосований при доведені теореми 28.1 спосіб приведення квадратичної форми до діагонального вигляду має назву метода виділення квадратів Лагранжа і може бути застосований для практичного приведення квадратичної форми до діагонального вигляду. Означення 28.8 Діагональний вигляд квадратичної форми в дійсному векторному просторі називається канонічним виглядом, якщо коефіцієнти Теорема 28.2 Для кожної квадратичної форми існує базис, в якому вона має канонічний вигляд. ◄ Для початку приведемо квадратичну форму до діагонального вигляду (теорема 28.1). Потім замінимо базис в такий спосіб, щоб: координати векторів, яким відповідають коефіцієнти квадратичної форми Ранг, індекс, визначеність квадратичних форм Існує багато базисів, в яких квадратична форма має канонічний вигляд. Виявляється, що всі канонічні вигляди квадратичної форми (з точністю до нумерації координат вектора) однакові. Теорема 28.3. Ранг матриці квадратичної форми не залежить від базису. ◄ Згідно (28.4) в базисі
Якщо квадратична форма має канонічний вигляд, то ранг її матриці просто дорівнює кількості коефіцієнтів Означення 28.8. Рангом квадратичної форми називається ранг її матриці. В комплексному векторному просторі всі квадратичні форми одного і того ж рангу Тепер розглянемо квадратичні форми в дійсному векторному просторі. Означення 28.9. Квадратична форма
Зауваження 28.8. Окремо відмітимо, що будь-яка квадратична форма Означення 28.10. Квадратична форма Зауваження 28.9. Якщо ‹' Означення 28.11. Квадратична форма Означення 28.12. Квадратична форма Зауваження 28.10. Якщо Приклади 28.1. Нехай n=2. Тоді а
Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 713; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |