Гироскоп Ковалевской

Случай Лагранжа-Пуассона

Гироскоп Лагранжа

Геометрическая интерпретация движения

Случай регулярной прецессии

(5)

Выражения для p, q, r

(6)

Проекции на оси

(**)

Угловое ускорение при регулярной прецессии всегда совпадает по направлению по линии узлов.

Поверхность, описанная вектором угловой скорости, называется аксоидом.

.

Подвижный аксоид обкатывается по неподвижному без скольжения – это и есть регулярная прецессия.

В литературе геометрическая интерпретация Пуансо для случая гироскопа Эйлера приводится для гироскопа с разными моментами инерции.

В данном случае применены плоские углы Эйлера. Эти углы удобны для описания движения гироскопа в бескардановом подвесе.

В классическом гироскопе Лагранжа карданового подвеса нет, а гироскоп операется на нижнюю точку оси собственного вращения.

(1)

В работающих приборах оси взаимоперпендикулярны.

Резалева система координат это правая ортогональная система координат, связанная с рамкой и не участвующая во вращении.

Выведем уравнение движения гироскопа Лагранжа для углов Резаля

(2)

P – вес маятника

С – центр масс

Динамические уравнения Эйлера

Моменты внешних сил:

Третье уравнение:

Или

Уравнения (10) проинтегрированы и для их решения записаны аналитические интегралы 1-го рода.

Дается приближенный анализ подынтегральной функции.

Алгоритм для программирования:

Обозначим:

(12)

Форма Коши:

(13)

Для общности моделирования параметры мы можем считать безразмерными.

Дифференциальные уравнения13 переводятся в машинные переменные (MatCad 15)

начальные условия:

Машинные уравнения:

Угловая скорость прецессии имеет порядок в 3 раза больше угловой скорости вращения Земли.

Уравнения Ковалевской должны быть дополнены кинематическими уравнениями. Они связывают углы Эйлера с угловыми скоростями. Их обычно пишут для теории Эйлера. Эти уравнения существенно нелинейные и вырождаемые.

Кинематические уравнения Пуассона:

(1)

Начальные условия:

После математического моделирования систем уравнений (1), (2), (3), (4), (5) мы можем предметно судить о свойствах гироскопа Ковалевской. Моделирование дает представление о конкретном гироскопе (в этом недостаток).

Аналитическое решение позволяет охватить все случаи жизни, но некоторые аналитические решения также недостаточны как и сами дифференциальные уравнения.

Рассмотрим движение квази(почти) гироскопа Ковалевской.

Системы 𝐈 и 𝐈𝐈

Они должны дополняться функциями для углов Эйлера.

Для моделирования обозначим:

Начальные условия:

Движение будет происходить в зоне для φ= и Θ=

Дата добавления: 2014-01-07