Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости

В этом случае неподвижная ось вращения тела является главной осью инерции тела в точке О. Каждой точке (рис. 224, а) соответствует точка такой же массы, симметричная относительно заданной плоскости (на рис. 224, а эта плоскость заштрихована).

Из кинематики известно, что ускорения всех точек, лежащих на одной прямой, параллельной оси вращения, геометрически равны.

Поэтому силы инерции и точек и геометрически равны и их равнодействующая приложена в точке , лежащей в плоскости симметрии.

Отсюда следует, что в точке приложена равнодействующая сил инерции всех точек тела, лежащих на перпендикуляре к плоскости симметрии, восстановленном в этой точке. Таким образом, сложение сил инерции точек тела в этом случае вращения сводится к сложению сил инерции точек материальной плоской фигуры, имеющей массу данного тела и тот же момент инерции относительно оси вращения (рис. 224, б).

Приведем силы инерции точек фигуры к центру ее вращения О. При приведении получим силу, приложенную в этом центре, и пару сил, лежащую в плоскости фигуры. Сила равна главному вектору, определяемому формулой (109.3):

Главный вектор направлен противоположно ускорению центра масс и имеет модуль:

Для определения момента пары разложим силу инерции каждой точки на вращательную и центробежную силу инерции, направленные противоположно вращательному и центростремительному ускорениям этой точки. Их модули определим по формулам: и

Так как линии действия центробежных сил инерции проходят через центр вращения О, то искомый момент пары равен сумме моментов вращательных сил инерции относительно точки О:

Здесь момент инерции материальной плоской фигуры относительно оси OZ, перпендикулярной к ее плоскости, равный моменту инерции данного тела относительно этой оси.

Таким образом, алгебраическая величина момента пары, составленной силами инерции,

(109.4)

где J_z - момент инерции тела относительно оси вращения; ε — алгебраическая величина углового ускорения тела.

Вектор направлен перпендикулярно к плоскости фигуры, т. е. по оси вращения тела противоположно вектору углового ускорения:

Как известно из статики (§ 29), силу и пару с моментом , лежащих в одной плоскости, можно заменить одной равнодействующей силой , геометрически равной главному вектору (рис. 224, в).

Линия действия этой силы отстоит от центра приведения О на расстоянии

(109.5)

Таким образом, при вращении твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг оси, перпендикулярной к этой плоскости, силы инерции точек тела приводятся к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии. Модуль и направление этой силы определяются формулой (109.3), а расстояние от ее линии действия до точки пересечения оси вращения с плоскостью симметрии - формулой (109.5).

Покажем, что линия действия равнодействующей сил инерции проходит через центр качаний. Для этого продолжим линию действия этой силы до пересечения с прямой ОС; перенесем в точку их пересечения О₁ силу и разложим ее на две составляющие и (рис. 224, г). На основании теоремы о моменте равнодействующей силы (ч. I, «Статика», § 29)

(а)

Так как линия действия проходит через точку О, то

(б)

Принимая ОС = d, имеем

Поэтому на основании (а) и (б): откуда

Из этого равенства на основании (81.3) следует, что точка О₁ через которую проходит линия действия равнодействующей сил инерции , является центром качаний.

Дата добавления: 2014-01-07