Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. (теорема Штейнера)

Допустим, что задана ось . Для доказательства теоремы проведем через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось параллельна заданной оси а ось лежит в плоскости параллельных осей и (рис. 78). Обозначим расстояние между осями и .

Для вычисления моментов инерции тела относительно осей и опустим из каждой точки рассматриваемого тела перпендикуляры и на оси и .

Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:

(a)

Определим моменты инерции тела относительно осей и :

Применим зависимость (а) и получим: или (б)

Здесь - масса тела. Из формулы (32.2), определяющей координату центра масс тела, получаем . Так как , то . Подставляя это значение в равенство (б), получаем зависимость, установленную теоремой: (35.1)

Формула (35.1) показывает, что из совокупности параллельных осей, ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции.

Полярный момент инерции твердого тела относительно центра масс согласно (34.5):

Отсюда следует, что центр масс тела является полюсом, относительно которого полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.

Воспользуемся формулой (35.1) для установления зависимости между радиусами инерции твердого тела и относительно осей и . Согласно (34.7): ,

тогда , откуда (35.2)

Дата добавления: 2014-01-07