Теорема об изменении количества движения материальной точки

Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки т на модуль скорости ее движения V

Количество движения, зависящее от массы точки и ее скорости, является мерой механического движения. Понятие количества движения было введено в механику Декартом и положено в основу механики Ньютоном.

Единицей количества движения является количество движения точки, имеющей единицу массы и движущейся со скоростью, равной единице скорости, т. е. в системе МКС 1 кг • 1 м/с=1 кг-м/сек, в системе СГС 1 г • 1 см/с =1 г • см/с и в системе МКГСС 1 кгс х с2/м 1 м/с = = 1 кгс • с. Единицы количества движения совпадают с единицами импульса силы. Проекции количества движения то на оси х, у, z определяются следующими выражениями (48.1)

где - проекции скорости на оси координат.

Предположим, что - равнодействующая сил, приложенных к материальной точке. Преобразуем основное уравнение динамики следующим образом: , или .(48.2)

Уравнение (48.2) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме, которая формулируется так: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Установим зависимость между изменением количества движения и импульсами действующих на точку сил.

Из уравнения (48.2) получим: . (48.3)

Проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих моментам времени t₁ и t₂:

Так как правая часть этого равенства представляет собой импульс силы за промежуток времени t₂ — t₁ (46.3), то (48.4)

Из равенства (48.4)

т. е. вектор можно определить диагональю параллелограмма, построенного на векторахи (рис. 109).

Заменим импульс равнодействующей силы в уравнении (48.4) импульсами составляющих сил : (48.5)

Уравнение (48.5) выражает теорему об изменении количества движения материальной точкив конечной форме: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени. Эту теорему называюттакже теоремой импульсов.

Векторному уравнению (48.5) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

(48.6)

Уравнения (48.6) показывают, что изменение проекции количества движения материальной точки на данную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций на ту же ось импульсов приложенных к точке сил за тот же промежуток времени.

Большинство практических задач решается по уравнениям в проекциях на оси координат.

Дата добавления: 2014-01-07