Преобразование Лапласа.

ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

План лекции

ЛЕКЦИЯ 11

1. Класс функций преобразуемых по Фурье.

2. Одностороннее преобразование Фурье.

3. Обобщенное преобразование Фурье.

4. Абсцисса абсолютной сходимости.

5. Преобразование Лапласа.

6. Основные теоремы преобразования Лапласа.

Выпишем прямое и обратное преобразование Фурье. (1)

(2)

В соответствии с приведенной теоремой функция f(t) преобразуется по Фурье если:

1) f(t) – кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция.

2) f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т. е.

.

Большинство элементарных функций не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, не преобразуются по Фурье. Однако с помощью простых преобразований можно обобщить преобразование Фурье на многие функции. Поступают так. Функцию f(t) умножают на , где с подбирают так, чтобы обеспечить абсолютную интегрируемость. Запишем условие абсолютной интегрируемости для функции:

Наименьшее из чисел с или предел к которому стремится с, для которых

- существует (конечен) называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается .

Запишем , (3)

Равенство (3) задает одностороннее преобразование Фурье. В соответствии с (2) обратное одностороннее преобразование Фурье задается равенством:

(4)

При переходе от преобразования Фурье к одностороннему преобразованию Фурье уменьшается интервал определения функции f(t), которая теперь определена в области . Такое усечение интервала определения с физической точки зрения оправдывается тем, что в технических системах все процессы имеют начало, момент начала которого можно совмести с точкой . Объединим в одностороннем преобразовании (3) множитель с ядром преобразования : (5)

Равенство (5) задает обобщенное преобразование Фурье. Оно позволяет по вещественной функции f(t) построить комплексную функцию F(с+iw). Найдем преобразование обратное к преобразованию Фурье. Перепишем (4) в виде:

(6)

Умножим (6) на :

, (7) – позволяет по комплексной функции F(c+iw) восстановить вещественную функцию f(t) и называется обратным обобщенным преобразованием Фурье.

Введем комплексную переменную s=c+iw, тогда равенства (5) и (7) принимают вид:

(8)

(9)

Равенства (8) и (9) задают соответственно прямое и обратное преобразование Лапласа. В равенстве (9) пределы интегрирования показывают, что интегрирование ведется вдоль прямой Res=c.

Рис.1

В преобразовании Лапласа функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) – изображением.

Символически преобразование Лапласа записывается в виде:

Для обратного преобразования используется соотношение:

Преобразование Лапласа позволяет перейти от оригинала к изображению. Переход от оригинала к изображению позволяет упростить ряд математических операций, в том числе решение линейных дифференциальных уравнений.

Дата добавления: 2014-01-07