Основные теоремы преобразования Лапласа

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.

Функция называется оригиналом, если:

1) ;

2) - кусочно-гладкая кусочно-непрерывная функция;

3) существует показатель роста, т. е. найдутся такие числа и , что . (*)

Наименьшее из чисел или предел, к которому стремится наименьшее число, для которого справедливо равенство (*), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается .

В дальнейшем под изображением будем понимать:

.

Такое уточнение изображения никак не сказывается на выполнении прямого и обратного преобразования Лапласа. Оно проявляет себя лишь в некоторых свойствах преобразования Лапласа.

Теорема 1.

Если является оригиналом, то изображение определено в области и является в этой области аналитической функцией.

Первая часть теоремы, утверждающая существование изображения в области , непосредственно следует из обобщенного преобразования Фурье. Докажем, что изображение в этой области является аналитической функцией.

продифференцируем по s

.

Переходя к дифференцированию под знаком интеграла, получим

.

Покажем, что интеграл существует. Оценим

Т. о. получили, что интеграл существует, следовательно, производная существует при можно взять сколь угодно близким числу . Отсюда следует, что существует в области Теорема доказана.

Теорема 2(основная теорема об обратном преобразовании Лапласа).

Если функция является оригиналом, а - изображение функции , то в каждой точке t непрерывности функции

Доказательство этой теоремы следует из обобщенного преобразования Фурье. Она уточняет, что обратное преобразование Лапласа сходится к только в точках непрерывности функции . В точках разрыва обратное преобразование Лапласа сходится к среднему значению.

Дата добавления: 2014-01-07