Функция распределения

Предположим, что случайная величина может принимать любые действительные значения. Зафиксируем на действительной оси порог . Тогда область возможных значений случайной величины разделится на две части: к одной из них будут относиться значения , не превосходящие порог , а к другой – превосходящие порог. Функция

,

показывающая, как зависит от выбранного порога вероятность того, что значения случайной величины не превосходят его, функцией распределения вероятностей случайной величины .

Графически функция распределения дискретной случайной величины представляется ступенчатой кривой (рис. 1.1) со скачками, равными в точках , и постоянными значениями на полузамкнутом интервале , при .

Для дискретной случайной величины функция распределения определяется следующим выражением:

. (1.1)

Вводя функцию единичного скачка

можно переписать (1.1) в виде

.

Обратно, зная функцию распределения можно найти вероятность

, при .

У непрерывной случайной величины функция распределения либо непрерывна (рис. 1.2), либо имеет в некоторых точках разрывы первого рода и непрерывные участки возрастания функции.

Основные свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения вероятностей находятся в пределах от 0 до 1, так как вероятность любого события не может быть отрицательной и не может превышать единицы.

2. При приближении порога к функция стремится к нулю, а в пределе равна нулю, как вероятность невозможного событья

. (1.2)

3. При приближении порога к функция стремится к единице, а в пределе равна единице, как вероятность достоверного событья

.

4. При двух выбранных порогах

.

5. Из четвертого свойства следует равенство

, при , (1.3)

показывающее, что вероятность того, что случайная величина заключена в определенных пределах, равна разности значений функции распределения в верхнем и нижнем пределах.

6. Так как левая часть равенства (1.3) не может быть отрицательной, то

, при . (1.4)

Следовательно, функция распределения неубывающая.

Дата добавления: 2014-01-06