Общие свойства корреляционных функций стационарных случайных процессов

Лекция 4.

Важную роль в теории случайных процессов играют математическое ожидание (одномерная моментная функция первого порядка) и корреляционная функция (двумерная начальная моментная функция второго порядка) [1-3]

, (3.1)

(3.2)

Двумерная центральная моментная функция второго порядка называется ковариационной функцией и имеет следующий вид:

(3.3)

Для стационарного в широком смысле случайного процесса среднее значение постоянно, а корреляционная функция зависит только от сдвига во времени. Тогда формулы (3.1) – (3.3) принимают вид:

,

, (3.4)

.

Особое место отводится корреляционной функции, которая характеризует степень связи двух значений случайного процесса и (двух случайных величин и ), соответствующих различным моментам времени и .

Из определения (3.4) корреляционной функции стационарного в широком смысле случайного процесса вытекают её предельные свойства:

1. Если функция непрерывна в начале координат, то

. (3.5)

Значение корреляционной функции в нуле есть полная средняя мощность процесса. Именно поэтому корреляционная функция является энергетической характеристикой случайного процесса.

2. Если модуль сдвига устремить к , то исходный случайный процесс и сдвинутый случайный процесс становятся независимыми, а их совместная плотность вероятности, в соответствии с (2.3), становится равной произведению их частных плотностей вероятности, тогда

(3.6)

3. Тогда из выражения (1.14), с учетом (3.5) и (3.6) следует, что дисперсия стационарного в широком смысле случайного процесса

. (3.7)

Таким образом, если известна корреляционная функция, то можно найти как математическое ожидание, так и дисперсию процесса.

4. Из соотношения

, (3.8)

следует, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса является четной функцией.

5. Рассмотрим момент квадрата произведения исходного и сдвинутого случайных процессов

Полученная алгебраическая сумма не может быть отрицательной, следовательно

. (3.9)

Из выражения (3.9) следует, что корреляционная функция случайного процесса стационарного в широком смысле не превышает значения в нуле .

Приведенные предельные свойства показывают, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса является четной функцией , имеет максимум при , равный сумме , и, как правило, убывает до при . Следует отметить, что приближение к при не всегда происходит монотонно, иногда значения корреляционной функции колеблются около . На рис. 3.1 приведены типичные корреляционные функции стационарного в широком смысле случайного процесса.

Дата добавления: 2014-01-06