Среднее значение и корреляционная функция процесса на выходе системы

Линейная система с непрерывным временем и с импульсной характеристикой преобразует согласно (4.1) случайный процесс, поданный на ее вход , в другой случайный процесс , который является интегральной сверткой импульсной характеристики с входным процессом

. (4.7)

Обозначим через и среднее значение и корреляционную функцию процесса на входе линейной системы. Из (4.1) непосредственно следует

,

. (4.8)

Тогда средний квадрат процесса на выходе линейной системы с переменными параметрами

,

а дисперсия

.

Для стационарного в широком смысле процесса на входе линейной системы формулу (4.8) можно переписать в виде

. (4.9)

Из (4.9) видно, что процесс на выходе линейной системы с переменными параметрами нестационарен даже тогда, когда на входе его действует стационарный случайный процесс.

Важное практическое значение имеет взаимная корреляционная функция процессов на входе и на выходе линейной системы с переменными параметрами, выражение для которой можно получить, используя (4.7)

. (4.10)

Рассмотрим теперь линейные системы с постоянными параметрами. В этом случае из (4.8), заменяя переменные и , находим

.

Если процесс на входе линейной системы стационарен, хотя бы в широком смысле, то

, (4.11)

,

.

В этом случае процесс на выходе линейной системы также стационарен в широком смысле.

Формулу (4.11) можно представить в виде

,

где

(4.12)

– свертка импульсных характеристик системы.

Взаимная корреляционная функция процессов на входе и на выходе линейной системы с постоянными параметрами имеет следующий вид

.

Если в (4.11) вместо подставить произведение импульсных характеристик двух линейных систем, то получим формулу взаимной корреляционной функции процессов и на выходах этих систем, когда на их входах действует процесс .

Дата добавления: 2014-01-06