Распределение модуля и фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами

Найдем плотность вероятности модуля и фазы случайного вектора, компоненты которого независимы и распределены нормально с различными математическими ожиданиями и одинаковым среднеквадратическим отклонением и .

Из (4.27) следует, что плотность совместного распределения модуля и фазы вектора в рассматриваемом случае будет иметь следующий вид:

. (4.30)

Тогда в соответствии с (4.28) после некоторого преобразования получаем плотность вероятности огибающей

,

где – фаза вектора средних значений.

Производя замену и обозначая модуль вектора средних значений приводим интеграл к функции Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента

, .

Тогда плотность вероятности модуля вектора

, . (4.31)

В зависимости от величины отношения график плотности вероятности будет изменять свой вид (рис. 4.7).

В частном случае, когда плотность вероятности модуля вектора принимает вид распределения Рэлея

,

Поэтому функцию (4.31) часто называют плотностью обобщенного распределения Рэлея.

Если , то кривая плотности распределения хорошо аппроксимируется кривой плотности нормального распределения (см. 5, рис. 4.7).

Определим плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами. В соответствии с формулами (4.29) и (4.30) плотность вероятности фазы будет иметь вид

, .

Путем дополнения экспоненты в подынтегральной функции до полного квадрата и замены переменной интегрирования

,

а так же использования интеграла Лапласа, получим

. (4.32)

На рис. 4.8 Построено семейство кривых распределения фазы при нескольких значениях отношения . Из (4.32) и рис. 4.8 Видно, что функция при и

,

что соответствует равномерному распределению фазы.

Если , то

,

Что соответствует нормальному распределению со среднем и дисперсией .

Дата добавления: 2014-01-06