Прямой метод вычисления корреляционной функции

Для того чтобы получить представление о том как изменяются энергетические характеристики сигнала при прохождении его через нелинейную цепь, рассмотрим прямой метод вычисления корреляционной функции (4.34).

В этом методе разложение двумерной плотности вероятности процесса на входе нелинейной системы в ряд, позволяет получить в подынтегральном выражении произведение одномерных плотностей вероятности , соответствующих двумерной плотности. При таком подходе появляется возможность разделить переменные интегрирования и получить выражение для корреляционной функции в следующем виде:

, (4.37)

где

.

Формула (4.37) описывает корреляционную функцию случайного процесса на выходе нелинейной системы в виде ряда функций , которые определяются только корреляционными характеристиками процесса на входе, но не зависят от вида нелинейности.

Если случайный процесс на входе нелинейной системы стационарный, то не зависит от времени , а обусловлено только разностью , и тогда (4.37) может быть записано в виде

, (4.38)

где

,

.

Используя теорему Винера – Хинчина из выражения (4.38), находим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы

, (4.39)

где

. (4.40)

Из (4.39) и (4.40) непосредственно следует, что широкополосный стационарный случайный процесс после нелинейного неинерционного преобразования остаётся стационарным и широкополосным.

Рассмотрим теперь нелинейное неинерционное преобразование узкополосного случайного процесса. В этом случае в соответствии с (3.22) корреляционная функция процесса на входе нелинейной системы имеет вид

, (4.41)

где и – функции, медленно меняющиеся по сравнению с .

Воспользовавшись математическими преобразованиями выражения (4.41), приведенными в [1], можно получить выражении для корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы

, (4.42)

а также соответствующее выражение для спектральной плотности мощности в виде

. (4.43)

Важной особенностью выражения (4.42) является то, что в него входит сумма, каждое слагаемое которой содержит функции и медленно меняющиеся по сравнению с . То есть в сумму входит бесконечное число корреляционных функций узкополосных процессов, спектры которых сосредоточены около соответствующих кратных частот , где .

Следовательно, спектр узкополосного стационарного случайного процесса после нелинейного неинерционного преобразования (4.43) представляет последовательность разделенных друг от друга спектральных полос (рис. 4.12). Расположение этих спектральных полос следующее: в области низких частот (спектр ), около несущей частоты (спектр , где сосредоточен также спектр и входного процесса) и в высокочастотных областях около гармоник несущей (спектры , при ). Их можно разделить при помощи полосовых фильтров, каждый из которых позволяет охватить данную полосу и не пропустить заметную часть спектра соседних полос. Низкочастотный спектр наиболее интересен при демодуляции, в то время как спектральная полоса около несущей важна для изучения таких процессов, как модуляция и гетеродинирование.

Дата добавления: 2014-01-06