Плата за принятие решения.

Решение любой из основных задач на основе одной реализации наблюдаемого случайного процесса не может быть всегда безошибочным. Так, при проверке гипотез может быть принято решение о подтверждении гипотезы , хотя в действительности имеет место гипотеза , . При формировании оценки неизвестного параметра по случайной выборке неизбежны случайные ошибки .

Таким образом, принятие решения связано не только с определенными затратами на обработку наблюдений для получения правильных решений, но и с определенными потерями, если решения оказываются ошибочными. Эти затраты и потери можно учесть, вводя априори так называемую функцию потерь, которая каждой паре утверждений истина – принятое решение ставит в соответствие неотрицательную величину – плату за принятие решения.

Так, в задачах проверки гипотез , , т, вводится матрица потерь размером , элементы которой являются платой за принятие гипотезы , когда истинной была гипотеза . В задачах оценивания параметров вводится неотрицательная функция потерь , зависящая от двух переменных: случайной оценки и оцениваемого параметра .

Введем ошибку оценивания параметра как разность между оценкой и истинным значением параметра: . Тогда функция потерь может быть построена как функция, зависящая от величины ошибки: .

Вид функции потерь в общем случае определяется физическим смыслом решаемой задачи, но есть несколько требований, которым эта функция должна удовлетворять:

1. если параметр измерен абсолютно точно, то потери должны быть равны нулю и функция потерь тоже должна быть равна нулю.

2. увеличение ошибки должно приводить либо к увеличению платы за ошибку, либо к сохранению платы на том же уровне и, соответственно, при увеличении ошибки значение функции потерь не должно уменьшаться.

Рассмотрим наиболее типичные функции потерь.

Простая функция потерь

.

Дата добавления: 2014-01-06