Расчет оптимальных управлений для случая. Предполагаем, что выполняется условие (42)

РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ

Предполагаем, что выполняется условие (42). Случай соответствует поведению инвестора нейтрального к риску. Функционал качества при примет вид

(54)

Цель управления - найти, доставляющие максимум функционала качества

(55)

Составим уравнение Беллмана для этого функционала качества:

(56)

Рассмотрим выражение. Скобка называется управляющей. Заметим, что при, выражение принимает максимальное значение при максимальном потреблении. Действительно, так как, то, и в силу непрерывности и.

При максимальном потреблении, платёжная функция (55) примет вид

(57)

Найдем, для этого подставим в балансовое уравнение (41) максимальное потребление. Получим

(58)

Отсюда

(59)

И получаем

(60)

Решая это уравнение, имеем

(61)

Подставляя полученное выражение (60) в (56), получаем

(62)

Так как, тогда для достижения максимума, очевидно, надо выбрать, тогда значение функционала качества будет равно

(63)

при управлении

Получили значение функционала качества, когда управляющая скобка Рассмотрим случай, когда управляющая скобка меняет знак. Тогда очевидно, что при, выражение примет свое максимальное значение при минимальном потреблении, т.е..

Пусть существует такая точка переключения, что, тогда на промежутке потребление, а на - максимальное, где.

Функционал качества (55) будет иметь вид

(64)

Найдем:

(65)

Найдем. Балансовое уравнение (41) на промежутке примет вид

(66)

Отсюда, аналогично (61), получаем

(67)

тогда

(68)

Тогда, подставляя найденные выражения в (64), получаем

(69)

Так как, тогда для достижения максимума, очевидно, что надо выбрать, тогда значение функционала качества будет равно

(70)

при управлении

Из того, что в точке управляющая скобка равна 0, получаем

(71)

тогда подставляя (70) в (69), имеем

(72)

Пусть таких точек переключения несколько, т.е. помимо существует точка, такая что. Тогда найдя из (72) и подставив, получим

(73)

что противоречит построению точки. Следовательно, существует только одна точка переключения.

Теорема 3. Предположим, что эволюция цены акции описывается процессом (40). А - корень уравнения (71). Тогда оптимальное вложение будет равно, здесь -оптимальная доля вложений в акции, остаток (доля) вкладывается на банковский счёт, при этом оптимальное потребление будет равно

1) на промежутке -

2) на промежутке -

и цена управления равна

Предполагаем, что выполняется условие (42). Случай соответствует поведению инвестора склонного к риску. Функционал качества при имеет вид

(74)

Цель управления - найти, доставляющие максимум функционала качества

(75)

Составим уравнение Беллмана для этого функционала качества:

(76)

Рассмотрим выражение. Легко увидеть, что при, выражение принимает максимальное значение при максимальном потреблении. Действительно, так как, то, и в силу непрерывности и.

При максимальном потреблении, платёжная функция (75) примет вид

(77)

Найдем, для этого подставим в балансовое уравнение (41) максимальное потребление. Получим

(78)

Из (78) воспользовавшись обобщенной формулой Ито, получим

(79)

Отсюда

(80)

Решая это уравнение, имеем

(81)

где.

Подставляя полученное выражение (81) в (77), получаем

(82)

Рассмотрим функцию. Продифференцируем по, получим

(83)

Следовательно, возрастает по.

Теперь учитывая, что, получаем, что для достижения максимума, очевидно, надо выбрать, тогда функционал качества равен

(84)

где

при управлении

Теперь рассмотрим выражение. Очевидно, что если управляющая скобка для всех меньше нуля, тогда нужно выбрать минимальное потребление. Тогда существует такая точка переключения, что, и тогда на промежутке потребление, а на - максимальное, где. Из того, что в точке управляющая скобка равна 0, получаем

(85)

Рассмотрим функционал качества (75):

(86)

Найдем:

(87)

Найдем. Балансовое уравнение (41) примет вид

(88)

Аналогично (78), получим:

(89)

Теперь подставляя найденные выражения (89) и (87) в (86), получаем

(90)

Легко заметить, что максимальное значение достигается при. Тогда, получаем

(91)

при управлении

Теперь подставляя (85) в (91), получаем

(92)

Пусть таких точек переключения несколько, т.е. помимо существует точка, такая что. Тогда найдя из (92) и подставив, получим:

(93)

Так как, тогда, если функция возрастающая, то второй точки переключения существовать не будет.

Теорема 4. Предположим, что эволюция цены акции описывается процессом (40) и - возрастающая функция. А - корень уравнения (85). Тогда оптимальное вложение будет равно, здесь - оптимальная доля вложений в акции, остаток (доля) вкладывается на банковский счёт, при этом оптимальное потребление будет равно

1) на промежутке -

2) на промежутке -

и цена управления равна

где

Дата добавления: 2014-01-07