Модель Кларка. Решение задачи о накопительном-потребительском фонде с функциями страховой компании

Рассматривается одна модель накопительной системы с потреблением, которая занимается еще инвестированием, как в безрисковые, так и в рисковые активы, и обладает некоторыми функциями “страхования”, а именно, в случайные моменты времени к компании может быть предъявлен “иск”, величина которого случайна и определяется следующим образом: если управляющая величиной “иска” неотрицательная случайная величина принимает значение,, а капитал компании на данный момент времени, то компания выплачивает по “иску” сумму; если случайная величина принимает значение, то компания выплачивает по “иску” сумму. Таким образом, компания функционирует на BS-рынке. В нашем случае учитывается потребление средств со скоростью В качестве функционала качества взят функционал Р. Мертона

где - коэффициент непрерывного дисконтирования. Р. Мертон, лауреат Нобелевской премии по экономике 1997 года, широко использовал этот функционал в своих работах. Найдены оптимальные управления потреблением и портфелем активов, при которых функционал качества принимает наибольшее значение.

1. Обобщение обобщенной формулы Ито для стохастических дифференциалов. Нетрудно получить следующее обобщение из обобщенной формулы Ито.

Tеорема (обобщение обобщённой формулы Ито). Если - дважды непрерывно дифференцируемая функция переменной и

(1)

то

(2)

Также для случая стохастических интегралов по центрированным пуассоновским мерам будет верен следующий результат:

Если

(3)

то

(4)

2. Постановка и решение задачи о накопительном-потребительском фонде с функциями страховой компании. Рассмотрим следующую модель накопления, потребления и “страхования”, являющуюся компиляцией в некотором смысле динамической модели “страхования” и известной модели портфельного анализа Р. Мертона. Будем предполагать, что цена рискового актива (акции) описывается моделью П. Кларка, т.е.

где, - стандартный винеровский процесс, а - процесс Пуассона с параметром, независящий от, откуда следует, что

а с точностью до бесконечно малых высшего порядка имеем

Предположим, что в момент времени капитал страховой компании равен, часть средств выделяется на покупку акций, оставшаяся часть средств ложится на банковский счет под простую процентную ставку (мы будем считать, что). Будем также предполагать, что в момент времени происходит потребление средств со скоростью суммарные выплаты страховой компании на промежутке времени от до описываются величиной

где - случайные величины, управляющие величинами выплат компании, независимые положительные одинаково распределенные. Возьмём конструкцию управляющей величины, принадлежащую А.В.Баеву.

Управляющая величинастроится следующим образом:, де - величина иска к фонду, - некоторое число, которое может быть достаточно большим, тогда

А суммарные выплаты за время составят величину, где - процесс Пуассона с параметром, интерпретируется как число исков, что пришли в фонд за время; - независимые от и между собой величины исков с функцией - величина выплаты по иску, которая определяется как:

(5)

Пусть класс допустимых скоростей потребления состоит из функций

Поставлена следующая задача: найти такие управления, которые максимизируют плату

где - коэффициент непрерывного дисконтирования. Составим уравнение, описывающее эволюцию капитала компании. В момент времени капитал компании равен, часть средств выделяется на покупку акций (остаток ложится на банковский счёт), цена акции на этот момент равна, стало быть, на выделенную

сумму мы купим акций, каждая из которых к моменту времени будет стоять, то есть весь пакет акций будет стоить

к моменту времени на банковском счете будет

на промежутке времени от до потреблено средств страховой компании

суммарные выплаты равны

В силу представления сложного пуассоновского процесса в виде стохастического интеграла по пуассоновской мере, имеем

Учитывая сказанное, на момент времени будем иметь

Перейдем к дифференциалу, получим стохастическое дифференциальное уравнение

Откуда получим стохастическое дифференциальное уравнение с не центрированной мерой Пуассона:

(6)

Пусть

цена управления функционалом Р. Мертона, капитал компании в момент времени стартует из точки. Везде в дальнейшем считаем, что для любого. Действительно в силу условий, наложенных на класс решение уравнения баланса (6), стартующее в момент времени из точки, остается положительным на всем промежутке времени, убедимся в этом. Пусть решение уравнения

(7)

Нетрудно показать, что с вероятностью 1

Вычитая (7) из (6) получим для соотношение

(8)

Выпишем решение уравнения (7) используя обобщение обобщённой формулы Ито (2). Покажем, что процесс

является решением уравнения (7). Действительно, пусть где

Воспользовавшись формулой (2) действительно имеем

То есть

(9)

Из (8) следует представление

(10)

так как при с вероятностью 1

(11)

Действительно, запишем стохастический дифференциал от правой части (10)

Представление (10) установлено. Таким образом, действительно с вероятностью 1, то есть в любой момент времени капитал фонда не обращается в нуль. Приступим к нахождению оптимальных управлений накопительно-потребительским фондом с функциями страховой компании.

Формально запишем уравнение Р. Беллмана:

(12)

Уравнение (12) связывает оптимальные управления и с - платой на оптимальных управлениях.

Приступим к нахождению оптимальных управлений. Приравняем производную от правой части (12) по к нулю, имеем

(13)

Будем искать цену в виде

Из (13) тогда имеем

(14)

Так как в этом случае

(15)

где

(16)

то из (12) с учетом (14) и (15) получаем после сокращения на

(17)

Пусть

Тогда

Пусть

Тогда, если если.Учитывая это имеем

Сделаем замену

Тогда получим

(18)

Решая обыкновенное линейное дифференциальное уравнение (18), имеем

Таким образом,

(19)

Тогда оптимальное управление имеет вид

а цена

(20)

Если в (18), тогда получим

и тогда

Резюмируем полученный результат

Теорема. Пусть - корень уравнения

тогда если если -здесь -оптимальная доля вложения в рисковый актив. Пусть

где

тогда оптимальным будет потребление со скоростью

1)

2)

и цена управления равна

1)

2)

здесь - момент времени, начиная с которого стартует функционирование фонда, - капитал фонда в момент времени

Наши действия были бы законными, если бы функция - цена управления функционалом Р. Мертона, имела соответствующие производные Хорошо известно как трудно проверить это предположение a priori, и кроме того, можно указать примеры, в которых оно не выполняется. В настоящее время имеется обходной путь, позволяющий доказать, что в некоторых случаях функция цены является достаточно гладкой и удовлетворяет уравнению Р. Беллмана. Он заключается в том, что сначала доказывается, что уравнение Беллмана имеет достаточно гладкое решение, а потом, что это решение и есть цена. Проделаем эти выкладки для нашего случая.

Пусть

тогда форма

при

очевидно равна

так как

где - так называемая дополнительная функция ошибок.

Управления

при доставляют максимум выражению который к тому же равен нулю.

Рассмотрим решение уравнения (6) на любых других управлениях Воспользовавшись обобщенной формулой Ито, имеем для функции при стохастический дифференциал

откуда в силу того, что

а в силу того, что имеем

Заметим в силу условий, наложенных на управление класс интеграл в правой части последнего неравенства существует. Действительно

так как при

где решение линейного уравнения

Действительно, если

то

Откуда

Тогда

С другой стороны, очевидно, что при оптимальных управлениях

и при имеем откуда следует, что

Дата добавления: 2014-01-07