Теорема Чебишова і стійкість середнього арифметичного випадкових величин

Теорема. Нехай випадкові величини попарно незалежні, мають скінченні математичні сподівання , та обмежені в сукупності дисперсії , . Позначимо:

, , .

Тоді для будь-якого числа

, (2)

тобто різниця між середнім арифметичним випадкових величин і середнім арифметичним їх математичних сподівань збігається за ймовірністю до нуля.

Суть теореми Чебишова полягає в тому, що хоч окремі випадкові величини можуть набувати значень, досить віддалених від своїх математичних сподівань , зате середнє арифметичне великого числа цих випадкових величин із імовірністю, близькою до одиниці, набуває значення, яке близьке до середнього арифметичного їх математичних сподівань. Тобто середнє арифметичне великого числа незалежних випадкових величин втрачає випадковий характер і має властивість стійкості.

Теорема Чебишова знаходить важливе практичне застосування. Зокрема, на цій теоремі ґрунтується вибірковий метод, який широко використовується в статистиці. Суть його полягає в тому, що на підставі вивчення певної ознаки для достатньо великої випадкової вибірки об’єктів роблять висновок про всю їх сукупність (генеральну сукупність).

Наслідок із теореми Чебишова. Якщо всі члени послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин мають скінченні математичні сподівання і дисперсії , то для будь-якого

, (2')

тобто середнє арифметичне випадкових величин збігається за ймовірністю до математичного сподівання .

Дата добавления: 2014-01-07